Cálculo del radio inscrito en un triángulo rectángulo mediante r = (a + b - c) / 2
Aplicar la fórmula simplificada para calcular el radio inscrito en un triángulo rectángulo, usando solo sus catetos e hipotenusa.
Introducción
En triángulos rectángulos existe un atajo para calcular el inradio, sin necesidad de calcular el área por separado: basta con conocer los catetos y la hipotenusa.
Explicación
Definición formal
En un triángulo rectángulo con catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$, el radio inscrito es $r=\frac{a+b-c}{2}$, fórmula equivalente a $r=\frac{\text{Área}}{s}$ para este caso particular.
Desarrollo didáctico
Para el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5: $r=\frac{3+4-5}{2}=\frac{2}{2}=1$, coincidiendo con el cálculo por área y semiperímetro.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los catetos a y b y la hipotenusa c del triángulo rectángulo.
- Paso 2: Súmalos como a + b − c.
- Paso 3: Divide ese resultado entre 2 para obtener el radio inscrito.
Ejemplos
1 Un triángulo rectángulo tiene catetos 3 y 4 e hipotenusa 5.
- r=(3+4−5)/2=1.
2 Un triángulo rectángulo tiene catetos 6 y 8 e hipotenusa 10.
- r=(6+8−10)/2=2.
3 ¿Esta fórmula aplica solo a triángulos rectángulos?
- Sí, es una simplificación específica para el caso rectángulo; en general se usa r=Área/s.
4 ¿El resultado coincide con el cálculo por área y semiperímetro?
- Sí, ambas fórmulas dan el mismo valor para un triángulo rectángulo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar esta fórmula simplificada a triángulos que no son rectángulos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuál lado es la hipotenusa al aplicar la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar dividir entre 2 después de sumar los catetos y restar la hipotenusa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, el radio inscrito es r = (a + b − c) / 2.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un triángulo rectángulo, el inradio se calcula como:
Es la fórmula simplificada para triángulos rectángulos.
Respuesta: A) (a+b−c)/2
-
Esta fórmula solo aplica a triángulos rectángulos.
Es una simplificación específica de ese caso.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo rectángulo tiene catetos 5 y 12 e hipotenusa 13. ¿Cuál es su inradio?
r=(5+12−13)/2=2.
Respuesta: A) 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta fórmula da el mismo resultado que r=Área/semiperímetro para un triángulo rectángulo.
Son equivalentes matemáticamente en ese caso.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo rectángulo tiene catetos 9 y 12 e hipotenusa 15. ¿Cuál es su inradio?
r=(9+12−15)/2=3.
Respuesta: A) 3
-
Un triángulo rectángulo con catetos 8 y 15 e hipotenusa 17 tiene inradio 3.
r=(8+15−17)/2=3.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo rectángulo tiene catetos 7 y 24 e hipotenusa 25. ¿Cuál es su inradio?
r=(7+24−25)/2=3.
Respuesta: A) 3
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al usar esta fórmula?
Esta fórmula simplificada solo es válida cuando el triángulo es rectángulo.
Respuesta: A) Aplicarla a triángulos no rectángulos
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Un triángulo rectángulo tiene inradio 4 y catetos iguales a $a$ y $a+7$, con hipotenusa $a+8$. ¿Cuánto vale $a$?
r=(a+(a+7)−(a+8))/2=(a−1)/2=4 → a−1=8 → a=9.
Respuesta: A) 9
-
En cualquier triángulo rectángulo, el inradio es siempre menor que el cateto más corto.
Como r=(a+b−c)/2 y c es siempre mayor que cualquiera de los catetos, r resulta siempre menor que el cateto menor.
Respuesta: Verdadero