Cálculo del radio inscrito en un triángulo rectángulo mediante r = (a + b - c) / 2
Resumen inicial
En todo triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$, el radio de la circunferencia inscrita ($r$) se calcula de forma directa mediante el Teorema de Poncelet: $r = \frac{a + b - c}{2}$.
Explicación en palabras simples
En los triángulos con una esquina de $90^\circ$ (rectángulos) hay un truco muy rápido y directo llamado Teorema de Poncelet:
- Fórmula directa: Sumas los dos catetos, le restas la hipotenusa y divides el resultado entre 2: $r = \frac{a + b - c}{2}$.
- No necesitas calcular el área: Encuentras el inradio de inmediato usando solo las medidas de los tres lados.
- Cuadrado en la esquina: El incentro forma un cuadrado perfecto de lado $r \times r$ en el vértice del ángulo recto.
Explicación formal
Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo $\Delta ABC$ con catetos $a, b$ e hipotenusa $c$, el inradio $r$ se calcula directamente mediante la semisuma de los catetos menos la hipotenusa:
$$a + b = c + 2r \iff r = \frac{a + b - c}{2}$$
Desglose simbólico y geométrico
- $a, b$: Longitudes de los catetos perpendiculares.
- $c$: Longitud de la hipotenusa.
- Cuadrado en el vértice recto: Los radios de tangencia forman un cuadrado de lado $r$ en la esquina de $90^\circ$, de donde los segmentos tangentes en la hipotenusa suman $c = (a - r) + (b - r) = a + b - 2r$.
Síntesis didáctica
El teorema de Poncelet simplifica el cálculo del inradio en triángulos rectángulos a una sencilla fórmula algebraica lineal sin raíces ni áreas intermedias.
El Teorema de Poncelet establece que el inradio es $r = \frac{a + b - c}{2}$ (suma de catetos menos hipotenusa dividido por 2).
Definiciones clave
- Teorema de Poncelet: Teorema geométrico que establece que la suma de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa más dos veces el inradio ($a + b = c + 2r$).
- Catetos ($a, b$): Lados que forman el ángulo recto ($90^\circ$).
- Hipotenusa ($c$): Lado opuesto al ángulo recto y de mayor longitud en el triángulo rectángulo.
Propiedades y relaciones importantes
- Ecuación de Poncelet: $a + b = c + 2r$.
- Inradio despejado: $r = \frac{a + b - c}{2}$.
- Equivalencia con área: $r = \frac{\text{Área}}{s} = \frac{(a \cdot b)/2}{(a + b + c)/2} = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{a + b - c}{2}$.
Ejemplo guiado
En un triángulo rectángulo, los catetos miden $a = 6\text{ cm}$ y $b = 8\text{ cm}$. Calcula la hipotenusa $c$ y luego aplica el Teorema de Poncelet para encontrar el radio de la circunferencia inscrita ($r$).
- Paso 1: Calcular la hipotenusa por Pitágoras: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- Paso 2: Aplicar el Teorema de Poncelet: $r = \frac{a + b - c}{2}$.
- Paso 3: Sustituir los valores: $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$.
- Paso 4: Concluir que el radio de la circunferencia inscrita es $2\text{ cm}$.
El inradio mide $2\text{ cm}$, pues $r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$.
Procedimiento
- Paso 1: Confirmar que el triángulo es rectángulo e identificar los dos catetos ($a, b$) y la hipotenusa ($c$).
- Paso 2: Si no se conoce la hipotenusa, calcularla mediante el teorema de Pitágoras: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
- Paso 3: Aplicar el Teorema de Poncelet: $r = \frac{a + b - c}{2}$.
- Paso 4: Verificar que el valor obtenido sea positivo ($r > 0$) y asignar las unidades.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Recuerda que en la fórmula de Poncelet se restan los catetos de la hipotenusa ($a + b - c$) y NO al revés.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Por Poncelet: $r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{21 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$.
- $r = \frac{(a + b) - c}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$.
- No, el Teorema de Poncelet solo es válido para triángulos rectángulos.
- Sí, esa es la formulación exacta de $r = \frac{a + b - c}{2}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular el radio de la circunferencia inscrita en triángulos rectángulos mediante el Teorema de Poncelet.
Identificando los catetos ($a, b$) y la hipotenusa ($c$), y aplicando la relación $r = \frac{a + b - c}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un triángulo rectángulo, el inradio se calcula como:
Es la fórmula simplificada para triángulos rectángulos.
Respuesta: A) (a+b−c)/2
-
Esta fórmula solo aplica a triángulos rectángulos.
Es una simplificación específica de ese caso.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo rectángulo tiene catetos 5 y 12 e hipotenusa 13. ¿Cuál es su inradio?
r=(5+12−13)/2=2.
Respuesta: A) 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta fórmula da el mismo resultado que r=Área/semiperímetro para un triángulo rectángulo.
Son equivalentes matemáticamente en ese caso.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo rectángulo tiene catetos 9 y 12 e hipotenusa 15. ¿Cuál es su inradio?
r=(9+12−15)/2=3.
Respuesta: A) 3
-
Un triángulo rectángulo con catetos 8 y 15 e hipotenusa 17 tiene inradio 3.
r=(8+15−17)/2=3.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo rectángulo tiene catetos 7 y 24 e hipotenusa 25. ¿Cuál es su inradio?
r=(7+24−25)/2=3.
Respuesta: A) 3
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al usar esta fórmula?
Esta fórmula simplificada solo es válida cuando el triángulo es rectángulo.
Respuesta: A) Aplicarla a triángulos no rectángulos
-
Un triángulo rectángulo tiene inradio 4 y catetos iguales a $a$ y $a+7$, con hipotenusa $a+8$. ¿Cuánto vale $a$?
r=(a+(a+7)−(a+8))/2=(a−1)/2=4 → a−1=8 → a=9.
Respuesta: A) 9
-
En cualquier triángulo rectángulo, el inradio es siempre menor que el cateto más corto.
Como r=(a+b−c)/2 y c es siempre mayor que cualquiera de los catetos, r resulta siempre menor que el cateto menor.
Respuesta: Verdadero