Radio de la circunferencia inscrita como distancia del incentro a los lados
Calcular el radio inscrito de un triángulo a partir de su área y su semiperímetro.
Introducción
El radio de la circunferencia inscrita no solo se define geométricamente como distancia del incentro a los lados: también puede calcularse numéricamente a partir del área y el semiperímetro del triángulo.
Explicación
Definición formal
Si un triángulo tiene área $A$ y semiperímetro $s=\frac{a+b+c}{2}$, su radio inscrito es $r=\frac{A}{s}$.
Desarrollo didáctico
Un triángulo de lados 3, 4 y 5 tiene semiperímetro $s=\frac{3+4+5}{2}=6$ y área $A=\frac{3\cdot4}{2}=6$ (es rectángulo); su radio inscrito es $r=\frac{6}{6}=1$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula el semiperímetro s sumando los tres lados y dividiendo entre 2.
- Paso 2: Calcula (o identifica) el área del triángulo.
- Paso 3: Divide el área entre el semiperímetro para obtener el radio inscrito.
Ejemplos
1 Un triángulo tiene área 12 y semiperímetro 6.
- r = 12/6 = 2.
2 Calcula el inradio del triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
- s=(3+4+5)/2=6, área=6, r=6/6=1.
3 ¿El inradio depende del área del triángulo?
- Sí, es directamente proporcional al área (para un semiperímetro fijo).
4 ¿Se puede calcular el inradio sin conocer el área?
- No, con esta fórmula se necesita conocer el área y el semiperímetro.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar dividir entre 2 al calcular el semiperímetro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el perímetro con el semiperímetro en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar el perímetro completo en vez del semiperímetro al dividir el área."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El radio inscrito de un triángulo se calcula como r = Área / s, donde s es el semiperímetro.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El radio inscrito se calcula como:
r = Área / s.
Respuesta: A) Área dividida por el semiperímetro
-
El semiperímetro es la mitad del perímetro.
s = perímetro/2.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene área 20 y semiperímetro 10. ¿Cuál es su inradio?
r=20/10=2.
Respuesta: A) 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El inradio se calcula dividiendo el área por el perímetro completo (no el semiperímetro).
Se usa el semiperímetro, no el perímetro completo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo tiene lados 6, 8 y 10 (área 24). ¿Cuál es su inradio?
s=(6+8+10)/2=12, r=24/12=2.
Respuesta: A) 2
-
Un triángulo con área 15 y semiperímetro 5 tiene inradio 3.
r=15/5=3.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene lados 5, 12 y 13 (área 30). ¿Cuál es su inradio?
s=(5+12+13)/2=15, r=30/15=2.
Respuesta: A) 2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular el inradio?
Ese error da la mitad del valor correcto del inradio.
Respuesta: A) Usar el perímetro completo en vez del semiperímetro
-
Dos triángulos con la misma área pero distinto perímetro tienen el mismo inradio.
El inradio depende de la razón área/semiperímetro; con distinto perímetro (semiperímetro), el inradio cambia aunque el área sea igual.
Respuesta: Falso
-
Un triángulo equilátero de lado 6 tiene área $9\sqrt{3}$. ¿Cuál es su inradio (aproximado)?
s=(6+6+6)/2=9, r=9√3/9=√3≈1,73.
Respuesta: A) ≈1,73