Radio de la circunferencia inscrita como distancia del incentro a los lados
Resumen inicial
El inradio ($r$) es la distancia perpendicular del incentro a los lados del triángulo. Se relaciona directamente con el área y el semiperímetro ($s$) mediante la fórmula fundamental $\text{Área} = r \cdot s$, de donde $r = \frac{\text{Área}}{s}$.
Explicación en palabras simples
Si unes el incentro $I$ con los 3 vértices del triángulo, la figura se divide en 3 triángulos más pequeños:
- Cada triángulo pequeño tiene altura $r$: La base de cada uno es un lado ($a, b, c$) y la altura de los tres es el mismo inradio $r$.
- Suma de áreas: El área total es la suma de las 3 áreas: $\frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{c \cdot r}{2} = r \cdot \left(\frac{a+b+c}{2}\right) = r \cdot s$.
- Para encontrar el radio $r$: Simplemente divides el área total entre el semiperímetro: $r = \frac{\text{Área}}{s}$.
Explicación formal
Definición formal y fórmula del inradio
El inradio ($r$) es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el incentro $I$ hacia cualquiera de los tres lados del triángulo:
$$r = \frac{A}{s} = \frac{2 \operatorname{Área}(\Delta ABC)}{a + b + c}$$
$$A = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \left(\frac{a+b+c}{2}\right)$$
Desglose simbólico y geométrico
- Descomposición en 3 subtriángulos: $\Delta IBC, \Delta IAC, \Delta IAB$, cada uno con base en un lado y altura común $r$.
- Suma de áreas: $\operatorname{Área}(\Delta ABC) = A_1 + A_2 + A_3 = r \cdot s$.
Síntesis didáctica
La relación $A = r \cdot s$ es una fórmula geométrica fundamental que permite calcular el radio inscrito conociendo el área y los lados del triángulo.
La relación correcta es $\text{Área} = r \cdot s$, de donde se despeja el inradio como $r = \text{Área} / s$.
Definiciones clave
- Inradio ($r$): Radio de la circunferencia inscrita y distancia del incentro a los lados.
- Semiperímetro ($s$): Semisuma de las longitudes de los lados de un polígono ($s = \frac{a+b+c}{2}$).
- Fórmula $A = r \cdot s$: Relación geométrica fundamental entre área, inradio y semiperímetro.
Propiedades y relaciones importantes
- Fórmula de área: $\text{Área} = r \cdot s$.
- Cálculo de inradio: $r = \frac{\text{Área}}{s}$.
- Fórmula de Herón combinada: $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.
Ejemplo guiado
Un triángulo tiene un área de $60\text{ cm}^2$ y sus lados miden $10\text{ cm}$, $10\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Calcula el semiperímetro $s$ del triángulo y la longitud del radio de su circunferencia inscrita ($r$).
- Paso 1: Calcular el semiperímetro $s$: $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16\text{ cm}$.
- Paso 2: Aplicar la relación $r = \frac{\text{Área}}{s}$.
- Paso 3: Sustituir los valores dados: $r = \frac{60\text{ cm}^2}{16\text{ cm}} = 3.75\text{ cm} = \frac{15}{4}\text{ cm}$.
- Paso 4: Concluir que el radio inscrito mide $3.75\text{ cm}$.
El inradio mide $3\text{ cm}$, pues $r = \frac{\text{Área}}{s} = \frac{36}{12} = 3\text{ cm}$.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular el semiperímetro sumando los lados y dividiendo por 2: $s = \frac{a+b+c}{2}$.
- Paso 2: Determinar el área total del triángulo (por base y altura, Herón o fórmula conocida).
- Paso 3: Dividir el área por el semiperímetro: $r = \frac{\text{Área}}{s}$.
- Paso 4: Expresar el resultado con las unidades de longitud correspondientes.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Asegúrate de dividir por el semiperímetro (s) y no por el perímetro completo (P).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Semiperímetro $s = \frac{30}{2} = 15\text{ cm}$.
- Inradio: $r = \frac{\text{Área}}{s} = \frac{45}{15} = 3\text{ cm}$.
- Semiperímetro $s = \frac{6 + 6 + 6}{2} = 9\text{ cm}$.
- Inradio: $r = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}\text{ cm}$.
- Sí, $\text{Área} = r \cdot s$ es un teorema fundamental aplicable a todo triángulo.
- No, se divide entre el semiperímetro $s = \frac{a+b+c}{2}$ (la mitad del perímetro).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular y aplicar la relación entre el inradio, el área y el semiperímetro de un triángulo.
Calculando el semiperímetro $s = \frac{a+b+c}{2}$ y despejando el inradio mediante $r = \frac{\text{Área}}{s}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El radio inscrito se calcula como:
r = Área / s.
Respuesta: A) Área dividida por el semiperímetro
-
El semiperímetro es la mitad del perímetro.
s = perímetro/2.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene área 20 y semiperímetro 10. ¿Cuál es su inradio?
r=20/10=2.
Respuesta: A) 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El inradio se calcula dividiendo el área por el perímetro completo (no el semiperímetro).
Se usa el semiperímetro, no el perímetro completo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo tiene lados 6, 8 y 10 (área 24). ¿Cuál es su inradio?
s=(6+8+10)/2=12, r=24/12=2.
Respuesta: A) 2
-
Un triángulo con área 15 y semiperímetro 5 tiene inradio 3.
r=15/5=3.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene lados 5, 12 y 13 (área 30). ¿Cuál es su inradio?
s=(5+12+13)/2=15, r=30/15=2.
Respuesta: A) 2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular el inradio?
Ese error da la mitad del valor correcto del inradio.
Respuesta: A) Usar el perímetro completo en vez del semiperímetro
-
Dos triángulos con la misma área pero distinto perímetro tienen el mismo inradio.
El inradio depende de la razón área/semiperímetro; con distinto perímetro (semiperímetro), el inradio cambia aunque el área sea igual.
Respuesta: Falso
-
Un triángulo equilátero de lado 6 tiene área $9\sqrt{3}$. ¿Cuál es su inradio (aproximado)?
s=(6+6+6)/2=9, r=9√3/9=√3≈1,73.
Respuesta: A) ≈1,73