Cálculo del grado absoluto de un polinomio
Resumen inicial
El grado absoluto de un polinomio es el mayor grado absoluto entre todos los términos monomios no nulos que lo componen.
Explicación en palabras simples
- Para calcular el grado absoluto (GA) de un polinomio:
- Se calcula el grado absoluto de cada uno de sus términos por separado (sumando los exponentes de las letras en cada término).
- Se elige el número mayor de todos.
- Por ejemplo, en $P(x, y) = 4x^3y^2 - 7x^2y^4 + 9xy$:
- Primer término: $3 + 2 = 5$.
- Segundo término: $2 + 4 = 6$.
- Tercer término: $1 + 1 = 2$.
- El grado absoluto del polinomio es el número mayor: $6$ ($6^{\circ}$ grado).
- ¡Importante! No se suman los grados entre los distintos términos (no se hace $5 + 6 + 2$).
Explicación formal
Definición formal
Sea $P(x_1, \dots, x_n) = \sum_{j=1}^m T_j$ un polinomio no nulo en $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$, donde cada $T_j = c_j x_1^{e_{j,1}} \cdots x_n^{e_{j,n}}$ es un monomio con $c_j \neq 0$.
El grado absoluto de $P$, denotado $\operatorname{GA}(P)$ o $\operatorname{gr}(P)$, es el supremo de los grados absolutos de sus monomios constitutivos:
$$\operatorname{GA}(P) = \max_{1 \le j \le m} \operatorname{GA}(T_j) = \max_{1 \le j \le m} \left( \sum_{i=1}^n e_{j,i} \right)$$
Propiedades algebraicas del grado
- Grado de la suma: $\operatorname{gr}(P + Q) \le \max(\operatorname{gr}(P), \operatorname{gr}(Q))$ (con igualdad estricta si $\operatorname{gr}(P) \neq \operatorname{gr}(Q)$).
- Grado del producto: $\operatorname{gr}(P \cdot Q) = \operatorname{gr}(P) + \operatorname{gr}(Q)$.
- Grado de la potencia: $\operatorname{gr}(P^k) = k \cdot \operatorname{gr}(P)$ para $k \in \mathbb{N}$.
La alternativa correcta es '$9$, porque el término $-4x^3y^6$ tiene grado $3 + 6 = 9$'. El grado absoluto del polinomio es el máximo grado entre todos sus términos.
Definiciones clave
- Grado absoluto de un polinomio: Máximo grado monomio entre todos los términos de la expresión.
- Término principal: Monomio que alcanza el grado absoluto máximo del polinomio.
- Polinomio homogéneo: Polinomio donde todos sus términos poseen idéntico grado absoluto.
Propiedades y relaciones importantes
- Independencia de la cantidad de términos: Un polinomio de alto grado puede tener pocos términos ($x^{10} + 1$ tiene grado 10 con solo 2 términos).
- Invarianza bajo reordenamiento: El grado no cambia si se permutan las posiciones de los monomios.
Ejemplo guiado
Calcula el grado absoluto del polinomio multivariable $P(x, y, z) = 5x^4y^2z - 8x^3y^5 + 2x^2y^2z^3 - 11$.
- Paso 1: Calculamos el grado absoluto del primer término $5x^4y^2z$: $4 + 2 + 1 = **7$**.
- Paso 2: Calculamos el grado absoluto del segundo término $-8x^3y^5$: $3 + 5 = **8$**.
- Paso 3: Calculamos el grado absoluto del tercer término $2x^2y^2z^3$: $2 + 2 + 3 = **7$**.
- Paso 4: Calculamos el grado del término independiente $-11$: **$0$**.
- Paso 5: Tomamos el valor máximo: $\operatorname{GA}(P) = \max(7, 8, 7, 0) = **8$**.
- Paso 6: Conclusión: El polinomio es de **octavo grado ($8^{\circ}$)**.
La alternativa correcta es '$7$, porque los grados de los factores se suman en la multiplicación ($3 + 4 = 7$)'. $\operatorname{gr}(P \cdot Q) = \operatorname{gr}(P) + \operatorname{gr}(Q)$.
Procedimiento
- Paso 1: Sumar los exponentes de las variables en cada monomio individual.
- Paso 2: Registrar el grado absoluto obtenido para cada término.
- Paso 3: Identificar el mayor de todos los grados calculados.
- Paso 4: Enunciar el valor máximo como el grado absoluto global del polinomio.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los grados de todos los términos del polinomio. Cómo corregirlo: El grado del polinomio es el máximo individual, no la suma de todos.
- Error 2: Olvidar sumar el exponente 1 de las variables sin superíndice escrito. Cómo corregirlo: En $x^3y$, el grado es $3 + 1 = 4$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Los exponentes presentes son 0, 3, 7 y 4.
- El exponente máximo es 7.
- El grado del polinomio es 7.
- $\operatorname{gr}(P) = 3$ y $\operatorname{gr}(Q) = 2$.
- $\operatorname{gr}(P \cdot Q) = 3 + 2 = 5$.
- Grado de $x^4y = 4 + 1 = 5$.
- Grado de $y^3 = 3$.
- El máximo es 5.
- Los grados de los términos no se suman entre sí.
- El grado del polinomio es $\max(3, 2, 1) = 3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Determinar con exactitud el grado absoluto de cualquier polinomio en una o más variables y aplicar las propiedades de grado en operaciones algebraicas.
Calculando el grado de cada monomio ($\sum e_{j,i}$) y seleccionando el valor máximo $\operatorname{GA}(P) = \max(\operatorname{GA}(T_j))$.