Cálculo del grado relativo de un polinomio
Resumen inicial
El grado relativo de un polinomio con respecto a una variable es el mayor exponente que tiene dicha variable en cualquiera de los términos del polinomio.
Explicación en palabras simples
- El grado relativo (GR) se calcula para una letra a la vez.
- ¿Cómo se halla?
- Buscamos esa letra en todos los términos del polinomio.
- Miramos sus exponentes y nos quedamos con el mayor de todos.
- Por ejemplo, en $P(x, y) = 5x^4y^2 - 3x^6y + 2xy^5$:
- Para la letra $x$, los exponentes son $4$, $6$ y $1$. El mayor es $6$, así que $\text{GR}(x) = **6$**.
- Para la letra $y$, los exponentes son $2$, $1$ y $5$. El mayor es $5$, así que $\text{GR}(y) = **5$**.
Explicación formal
Definición formal
Sea $P(x_1, \dots, x_n) = \sum_{j=1}^m T_j$ un polinomio no nulo en $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$, donde cada término $T_j$ tiene exponente $e_{j,k}$ en la variable $x_k$.
El grado relativo de $P$ respecto a $x_k$, denotado $\operatorname{GR}_{x_k}(P)$ o $\operatorname{gr}(P, x_k)$, es el supremo de dichos exponentes:
$$\operatorname{GR}_{x_k}(P) = \max_{1 \le j \le m} e_{j,k}$$
Desigualdad fundamental
Para todo polinomio multivariable y cualquier variable $x_k$:
$$\operatorname{GR}_{x_k}(P) \le \operatorname{GA}(P)$$
La igualdad se alcanza si y solo si el término de mayor grado absoluto es monovariable en $x_k$ o concentra en $x_k$ la totalidad de la potencia del monomio principal.
La alternativa correcta es '$7$, porque es el mayor exponente que afecta a la letra $y$'. $\operatorname{GR}(y) = \max(3, 7, 1) = 7$.
Definiciones clave
- Grado relativo de un polinomio: Mayor exponente de una variable específica presente en la expresión.
- Variable ordenadora: Variable respecto a la cual se mide el grado relativo y se ordena el polinomio.
- Grado nulo por ausencia: Si una variable no figura en ningún término del polinomio, su grado relativo es $0$.
Propiedades y relaciones importantes
- Independencia entre variables: El grado relativo respecto a una variable no se ve alterado por los exponentes de las otras letras.
- Grado relativo de productos: $\operatorname{GR}_x(P \cdot Q) = \operatorname{GR}_x(P) + \operatorname{GR}_x(Q)$.
Ejemplo guiado
En el polinomio $P(x, y, z) = 7x^3y^6z^2 - 4x^5y^2z^4 + 9x^2y^7z - 12$, calcula el grado relativo respecto a cada una de las variables $x$, $y$ y $z$.
- Paso 1: Evaluamos los exponentes de la variable $x$: figuran $3, 5, 2$. El valor máximo es **$5$** $\implies **\operatorname{GR}(x) = 5$**.
- Paso 2: Evaluamos los exponentes de la variable $y$: figuran $6, 2, 7$. El valor máximo es **$7$** $\implies **\operatorname{GR}(y) = 7$**.
- Paso 3: Evaluamos los exponentes de la variable $z$: figuran $2, 4, 1$. El valor máximo es **$4$** $\implies **\operatorname{GR}(z) = 4$**.
- Paso 4: Conclusión: Los grados relativos son $\operatorname{GR}(x) = 5$, $\operatorname{GR}(y) = 7$ y $\operatorname{GR}(z) = 4$.
La alternativa correcta es '$0$, porque $w^0 = 1$'. Una variable ausente tiene exponente implícito cero.
Procedimiento
- Paso 1: Fijar la variable de interés.
- Paso 2: Recorrer todos los términos del polinomio anotando el exponente de dicha variable en cada uno.
- Paso 3: Seleccionar el exponente máximo de la lista.
- Paso 4: Enunciar el resultado como el grado relativo respecto a esa variable.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los exponentes de una misma letra en los distintos términos. Cómo corregirlo: El grado relativo es el mayor exponente individual, no la suma.
- Error 2: Confundir grado relativo con grado absoluto. Cómo corregirlo: $\operatorname{GR}(x)$ solo evalúa los exponentes de $x$, ignorando las demás letras.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Exponentes de $a$: 5, 2, 3 $\implies \max = 5$.
- Exponentes de $b$: 2, 8, 4 $\implies \max = 8$.
- $\operatorname{GR}(a) = 5, \operatorname{GR}(b) = 8$.
- La variable $y$ solo figura en el primer término con exponente 1 ($y = y^1$).
- El grado relativo respecto a $y$ es 1.
- Cada término suma los exponentes de todas las letras.
- Por definición, $\operatorname{GR}_x(P) \le \operatorname{GA}(P)$.
- Los exponentes no se suman entre términos.
- $\operatorname{GR}(x) = \max(4, 3, 2) = 4$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular el grado relativo de un polinomio multivariable con respecto a cualquier letra individual y compararlo con el grado absoluto.
Identificando el exponente máximo de la variable de referencia ($\operatorname{GR}_{x_k}(P) = \max_{j} e_{j,k}$) en polinomios como $5x^4y^2 - 3x^6y + 2xy^5$.