Determinación del grado del producto de monomios
Resumen inicial
La determinación del grado del producto de monomios establece que el grado absoluto del monomio resultante es exactamente igual a la suma de los grados absolutos de los monomios multiplicandos.
Explicación en palabras simples
El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus variables (ej: el grado de $3x^2 y^3$ es $2 + 3 = \mathbf{5}$).
- REGLA DEL GRADO DEL PRODUCTO:
- El grado del monomio resultado ES LA SUMA de los grados de los monomios que se multiplicaron.
- Fórmula: $\operatorname{Grado}(M_1 \cdot M_2) = \operatorname{Grado}(M_1) + \operatorname{Grado}(M_2)$.
- Ejemplo:
- Monomio 1: $M_1 = 4x^3 y^2 \implies \text{Grado } = 3 + 2 = \mathbf{5}$.
- Monomio 2: $M_2 = -2x^4 y \implies \text{Grado } = 4 + 1 = \mathbf{5}$.
- Monomio Producto: $M_1 \cdot M_2 = -8x^7 y^3 \implies \text{Grado } = 7 + 3 = \mathbf{10}$.
- Verificación: $\text{Grado } 5 + \text{Grado } 5 = \mathbf{10}$.
Explicación formal
Definición formal
Sea la función grado absoluto $\operatorname{deg}: \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n] \setminus \{0\} \to \mathbb{N}_0$ definida para un monomio $M = c \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i}$ ($c \neq 0$) como la norma $L_1$ del vector de exponentes:
$$\operatorname{deg}(M) = \|\boldsymbol{\alpha}\|_1 = \sum_{i=1}^n \alpha_i$$
Para cualquier par de monomios no nulos $M_1, M_2$, la función grado satisface el homomorfismo aditivo sobre el producto:
$$\operatorname{deg}(M_1 \cdot M_2) = \operatorname{deg}(M_1) + \operatorname{deg}(M_2)$$
Demostración Formal
Sean $\boldsymbol{\alpha}$ y $\boldsymbol{\beta}$ los vectores de exponentes de $M_1$ y $M_2$ respectivamente. La parte literal de $M_1 \cdot M_2$ tiene vector de exponentes $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}$. Aplicando la linealidad de la norma $L_1$:
$$\operatorname{deg}(M_1 \cdot M_2) = \|\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\|_1 = \sum_{i=1}^n (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i + \sum_{i=1}^n \beta_i = \operatorname{deg}(M_1) + \operatorname{deg}(M_2)$$
Síntesis didáctica
La adición de grados absolutos en el producto de monomios refleja formalmente la estructura de logaritmo que la función grado cumple sobre la multiplicación.
La alternativa correcta es 'El grado del resultado es 10, porque los grados absolutos de los monomios se suman ($4 + 6 = 10$)'. Propiedad de adición de grados $\operatorname{deg}(M_1 \cdot M_2) = \operatorname{deg}(M_1) + \operatorname{deg}(M_2)$.
Definiciones clave
- Grado absoluto del monomio ($\operatorname{deg}(M)$): Suma de todos los exponentes de las variables contenidas en el monomio.
- Adición de grados en producto: Propiedad $\operatorname{deg}(M_1 \cdot M_2) = \operatorname{deg}(M_1) + \operatorname{deg}(M_2)$ por la cual los grados se suman.
- Grado relativo respecto a una variable: Exponente específico que posee una variable seleccionada dentro del monomio producto.
Propiedades y relaciones importantes
- Homomorfismo aditivo: La función grado transforma el producto de monomios en una suma de números enteros.
- Grado de constante no nula: Una constante numérica pura $c \neq 0$ tiene grado $0$ ($\operatorname{deg}(c) = 0$).
Ejemplo guiado
Calcula el grado absoluto de $M_1 = 5x^4 y^3$ y $M_2 = 2x^2 z^5$, y verifica el grado de su producto.
- Paso 1: Calculamos el grado absoluto de $M_1$: $\operatorname{deg}(M_1) = 4 + 3 = \mathbf{7}$.
- Paso 2: Calculamos el grado absoluto de $M_2$: $\operatorname{deg}(M_2) = 2 + 5 = \mathbf{7}$.
- Paso 3: Calculamos la suma teórica de grados: $7 + 7 = \mathbf{14}$.
- Paso 4: Multiplicamos los monomios: $M_1 \cdot M_2 = (5 \cdot 2) x^{4+2} y^3 z^5 = \mathbf{10x^6 y^3 z^5}$.
- Paso 5: Calculamos el grado absoluto del monomio producto: $\operatorname{deg}(10x^6 y^3 z^5) = 6 + 3 + 5 = \mathbf{14}$.
- Conclusión: El grado del producto es **$14$**, lo que coincide exactamente con la suma de los grados $7 + 7 = 14$.
La alternativa correcta es 'El grado es 7, porque el producto es $-12x^3 y^4$ y su grado es $3 + 4 = 7$ (igual a $3 + 4 = 7$ de los factores)'. Grado $M_1=3$, Grado $M_2=4 \implies 3+4=7$.
Procedimiento
- Paso 1: Sumar los exponentes del primer monomio para hallar su grado absoluto $\operatorname{deg}(M_1)$.
- Paso 2: Sumar los exponentes del segundo monomio para hallar su grado absoluto $\operatorname{deg}(M_2)$.
- Paso 3: Sumar ambos grados absolutos $\operatorname{deg}(M_1) + \operatorname{deg}(M_2)$.
- Paso 4: Verificar que el monomio producto obtenido cumpla que la suma de sus exponentes coincida con el total calculado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar los grados absolutos de los monomios en lugar de sumarlos (decir que grado 3 por grado 4 da grado 12). Cómo corregirlo: La función grado SUMA LOS GRADOS ($3 + 4 = 7$).
- Error 2: Excluir el exponente 1 de una variable al calcular el grado de un monomio (contar $x^2 y$ como grado 2). Cómo corregirlo: La variable sin exponente TIENE EXPONENTE 1 ($2 + 1 = 3$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Suma de grados: $3 + 5 = 8$.
- Resultado: 8.
- Grado $M_1: 2 + 3 = 5$.
- Grado $M_2: 1 + 4 = 5$.
- Suma: $5 + 5 = 10$.
- Sí, el entero 3 tiene grado 0 $\implies 4 + 0 = 4$.
- Sí, los grados se acumulan aditivamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular el grado absoluto y relativo del monomio resultante de una multiplicación.
Aplicar la propiedad aditiva del grado $\operatorname{GA}(M_1 \cdot M_2) = \operatorname{GA}(M_1) + \operatorname{GA}(M_2)$, sumando los grados de los factores individuales.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al multiplicar dos monomios, ¿cómo se determina el grado absoluto del producto?
Como las potencias de igual base se suman ($x^a \cdot x^b = x^{a+b}$), los grados absolutos de los factores se suman.
Respuesta: A) Sumando los grados absolutos de ambos monomios.
-
Si un monomio es de grado absoluto $m$ y se multiplica por otro monomio de grado absoluto $n$, el resultado es un monomio de grado absoluto:
El grado del producto siempre es la suma de los grados de los factores, es decir, $m+n$.
Respuesta: A) $m + n$
-
¿Es posible que al multiplicar dos monomios de grado $3$, el resultado sea un monomio de grado $3$?
El grado del producto es la suma exacta de los grados de los factores. $3 + 3 = 6$. No hay cancelaciones al multiplicar.
Respuesta: A) No, el resultado siempre será de grado $6$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El grado absoluto del monomio $-5x^2y^3$ es $5$. ¿Cuál es el grado de multiplicarlo por $x$?
El monomio $x$ tiene grado $1$. El producto tendrá grado $5 + 1 = 6$.
Respuesta: A) $6$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula el grado absoluto del producto entre $4a^2b$ y $-3ab^4$.
El primer factor tiene grado $2+1=3$. El segundo factor tiene grado $1+4=5$. $3+5=8$.
Respuesta: A) $8$
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Determina el grado relativo a la letra $x$ del producto de $2x^3y^5z$ y $x^n y^2$, sabiendo que $n=4$.
El grado relativo a $x$ es la suma de los exponentes de $x$. $3 + 4 = 7$.
Respuesta: A) $7$
-
El monomio $M_1 = ax^2y^b$ tiene grado absoluto $5$. El monomio $M_2 = 2x^cy^4$ tiene grado absoluto $7$. ¿Cuál es el grado absoluto del producto $M_1 \cdot M_2$?
Independiente de los valores, el grado del producto es la suma de los grados de los factores. $5 + 7 = 12$.
Respuesta: A) $12$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si se multiplica un monomio de grado $k$ por otro monomio de grado $k+2$, el polinomio resultante es de grado:
Se suman los grados: $k + (k+2) = 2k + 2$.
Respuesta: A) $2k + 2$
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Sea $P$ el producto de $3x^m y^3$ y $-2x^2 y^n$. Si el grado relativo de $x$ en $P$ es $5$ y el grado relativo a $y$ en $P$ es $7$, ¿cuál es el grado absoluto de $P$?
El grado absoluto es la suma de todos los grados relativos del monomio final, es decir, $5 + 7 = 12$.
Respuesta: A) $12$
-
Al multiplicar $n$ monomios, todos de grado $3$, el grado del producto será:
El grado se suma $n$ veces: $3 + 3 + ... + 3$ ($n$ veces) $= 3n$.
Respuesta: A) $3n$