Definición de inecuación lineal de primer grado
Comprender y modelar situaciones mediante inecuaciones lineales, reconociendo su estructura y representación.
Introducción
Muchas situaciones de la vida real no representan igualdades exactas, sino límites o condiciones.
Explicación
Definición formal
Una inecuación lineal en una variable $x$ es una expresión matemática que se puede reducir a una de las siguientes formas: $ax + b < 0$, $ax + b \le 0$, $ax + b > 0$, o $ax + b \ge 0$, donde $a$ y $b$ son números reales y $a
eq 0$.
Desarrollo didáctico
Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de $x$ que hacen que la desigualdad sea verdadera. A diferencia de las ecuaciones lineales, que usualmente tienen una única solución, las inecuaciones lineales tienen como solución un conjunto de valores, frecuentemente representado como un intervalo en la recta numérica.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar la variable y los coeficientes involucrados en la desigualdad matemática.
- Agrupar los términos con la variable en un lado de la desigualdad y los términos constantes en el otro.
- Despejar la variable multiplicando o dividiendo. Recordar que al multiplicar o dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad debe invertirse.
Ejemplos
1 Un estudiante tiene $\$5000$ para gastar en cuadernos que cuestan $\$800$ cada uno. Escriba y resuelva la inecuación que representa la cantidad máxima de cuadernos que puede comprar.
- Sea $x$ la cantidad de cuadernos.
- El costo total es $800x$. Este costo no puede superar los $\$5000$, por lo que $800x \le 5000$.
- Dividimos por $800$: $x \le \frac{5000}{800} = 6.25$.
- Como $x$ debe ser un número entero, la cantidad máxima de cuadernos es $6$.
2 Resuelva la inecuación $3x - 5 > 10$.
- Sumamos $5$ a ambos lados: $3x > 15$.
- Dividimos por $3$ ambos lados (como es positivo, la desigualdad se mantiene): $x > 5$.
- La solución es el intervalo $(5, \infty)$.
3 ¿Es $x=4$ solución de la inecuación $2x + 1 < 9$?
- Sustituimos $x = 4$ en la expresión: $2(4) + 1$.
- Calculamos el resultado: $8 + 1 = 9$.
- Evaluamos la desigualdad: $9 < 9$ es una proposición falsa. Por lo tanto, $x=4$ no es solución.
4 ¿El intervalo $[-2, \infty)$ es la solución de $-x \le 2$?
- Partimos de la inecuación $-x \le 2$.
- Multiplicamos por $-1$ a ambos lados. Esto invierte el sentido de la desigualdad.
- Obtenemos $x \ge -2$.
- En notación de intervalo, todos los números mayores o iguales a $-2$ se representan como $[-2, \infty)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo la dirección de la desigualdad se mantiene inalterada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir los símbolos de menor estricto ($<$) con menor o igual ($\le$) al interpretar resultados o escribir intervalos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que una inecuación lineal siempre tiene una única solución igual que una ecuación lineal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que si $x > a$ y $x > b$, la solución es el intervalo entre $a$ y $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Afirmar que $0x > 5$ tiene solución, en lugar de reconocer que es un conjunto vacío."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una inecuación lineal es una desigualdad matemática con una o más incógnitas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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¿Qué efecto tiene multiplicar ambos lados de una inecuación por un número real negativo?
Respuesta: El sentido de la desigualdad se invierte.
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La solución de una inecuación lineal en una variable, por lo general, se representa como:
Respuesta: Un intervalo en la recta numérica.
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre $2x > 4$ es correcta?
Respuesta: Tiene infinitas soluciones.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una inecuación lineal?
Respuesta: $3x - 1 \le 5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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La solución de la inecuación $-2x < 6$ es $x > -3$.
Respuesta: true
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El número $x = -5$ pertenece al conjunto solución de $x + 7 \ge 1$.
Respuesta: true
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La inecuación $5x - 5 > 5x + 2$ tiene infinitas soluciones.
Respuesta: false
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Si el triple de un número disminuido en $4$ no supera a $11$, ¿cuál es el mayor valor entero que puede tomar dicho número?
Respuesta: $5$
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Una empresa de arriendo de vehículos cobra un cargo fijo de $\$15000$ más $\$200$ por kilómetro recorrido. Si un cliente dispone de un máximo de $\$30000$, ¿cuántos kilómetros puede recorrer como máximo?
Respuesta: $75$
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La temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y Celsius ($C$) se relaciona mediante $F = \frac{9}{5}C + 32$. Si se requiere que la temperatura se mantenga por debajo de los $77^\circ F$, ¿qué condición deben cumplir los grados Celsius?
Respuesta: $C < 25$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$