Definición de inecuación lineal de primer grado

M1 — PAES obligatoria Básica

Resumen inicial

Una inecuación lineal de primer grado es una desigualdad algebraica donde la incógnita está elevada a la primera potencia.

Explicación en palabras simples

Definición de inecuación lineal de primer grado

Una inecuación lineal es muy parecida a una ecuación de primer grado, pero en lugar de tener un signo igual ($=$), utiliza un símbolo de desigualdad (como $<, >, \le, \ge$).
Resolverla consiste en encontrar todos los números que hacen verdadera la desigualdad.
Como resultado, la solución no es un único número, sino todo un rango o intervalo continuo de números reales.

Explicación formal

Una inecuación lineal de primer grado con una incógnita se define como una proposición abierta de la forma:

$$a x + b \ R \ 0 \quad \text{con } a \neq 0 \quad \text{y } R \in \{<, >, \le, \ge\}$$

Desglose de la fórmula:
- $x \in \mathbb{R}$: Variable incógnita de grado 1 ($x^1$).
- $a, b$: Coeficientes reales conocidos con $a \neq 0$.
- Conjunto Solución $S \subset \mathbb{R}$: Intervalo de números reales que verifican la desigualdad.

Comprueba tu avance ¿Qué distingue formalmente a una inecuación lineal de primer grado de una ecuación lineal?

Definiciones clave

  • Inecuación lineal de primer grado: Desigualdad algebraica de grado 1 en una sola variable.
  • Conjunto solución de inecuación: Subconjunto continuo de $\mathbb{R}$ formado por todos los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad.

Propiedades y relaciones importantes

  • Diferencia con ecuaciones: Las ecuaciones lineales tienen típicamente 1 única solución puntual; las inecuaciones lineales tienen infinitas soluciones agrupadas en un intervalo.

Ejemplo guiado

Ejemplo Definición de inecuación lineal de primer grado

Verifica si la expresión $3x - 5 \le 10$ es una inecuación lineal, identifica sus miembros y evalúa si $x = 4$ y $x = 6$ pertenecen a sus soluciones.

  • Paso 1: Confirmar la variable $x$ de grado 1 y el símbolo $\le$, validando que es una inecuación lineal.
  • Paso 2: Evaluar para $x = 4$: $3(4) - 5 = 12 - 5 = 7 \le 10$ (VERDADERO $\implies x = 4$ es solución).Paso 3: Evaluar para $x = 6$: $3(6) - 5 = 18 - 5 = 13 \le 10$ (FALSO $\implies x = 6$ no es solución).Paso 4: Concluir que el conjunto solución contiene valores menores o iguales al límite.
Comprueba tu avance Al comprobar la inecuación $3x - 5 \le 10$ para $x = 4$, ¿cuál es la razón por la que $x = 4$ es una solución válida?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la variable $x$ y comprobar que su exponente sea 1.
  • Paso 2: Identificar el operador de orden de la inecuación.
  • Paso 3: Trasponer términos para aislar la variable.
  • Paso 4: Expresar el conjunto solución como intervalo.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Escribir la respuesta de una inecuación como si fuera un número único (ejemplo: escribir 'solución $= 5$' en vez de $x \le 5$).
  • Cómo corregirlo: La solución de una inecuación es un CONJUNTO DE NÚMEROS (intervalo), no un número único.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Demostración básica de inecuaciones.
2 Demostración algebraica de inecuaciones.
3 ¿La solución de una inecuación lineal suele ser un conjunto continuo de números reales?
4 ¿Invertir el símbolo al dividir entre un negativo es obligatorio?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La inecuación $x^2 + 3x > 0$ es un ejemplo clásico de inecuación lineal de primer grado."
"Toda desigualdad matemática entre constantes numéricas sin incógnita es una inecuación lineal."
"El grado de una inecuación lineal se determina por el número de términos algebraicos presentes en sus miembros."
"Una inecuación lineal de primer grado posee como conjunto solución un único número real aislado."
"La expresión $ax + b > 0$ con $a = 0$ constituye una inecuación lineal de primer grado válida en $x$."
"El conjunto solución de una inecuación lineal suele corresponder a un intervalo continuo de números reales."
"Una inecuación lineal de primer grado es una desigualdad reducible a las formas $ax + b < 0$, $ax + b > 0$, $ax + b \le 0$ o $ax + b \ge 0$ con $a \neq 0$."

Al terminar debes poder

Resumen Definición de inecuación lineal de primer grado

🎯 QUÉ Objetivo

Definir e identificar la estructura de una inecuación lineal de primer grado.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Reconociendo la forma canónica $ax + b \gtrless 0$ con coeficiente principal $a \neq 0$ y exponente unitario en la incógnita.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Inecuaciones Lineales

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?

  3. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?

  4. ¿Qué efecto tiene multiplicar ambos lados de una inecuación por un número real negativo?

  5. La solución de una inecuación lineal en una variable, por lo general, se representa como:

  6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre $2x > 4$ es correcta?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una inecuación lineal?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.

  2. La solución de la inecuación $-2x < 6$ es $x > -3$.

  3. El número $x = -5$ pertenece al conjunto solución de $x + 7 \ge 1$.

  4. La inecuación $5x - 5 > 5x + 2$ tiene infinitas soluciones.

  5. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.

  6. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?

  3. Si el triple de un número disminuido en $4$ no supera a $11$, ¿cuál es el mayor valor entero que puede tomar dicho número?

  4. Una empresa de arriendo de vehículos cobra un cargo fijo de $\$15000$ más $\$200$ por kilómetro recorrido. Si un cliente dispone de un máximo de $\$30000$, ¿cuántos kilómetros puede recorrer como máximo?

  5. La temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y Celsius ($C$) se relaciona mediante $F = \frac{9}{5}C + 32$. Si se requiere que la temperatura se mantenga por debajo de los $77^\circ F$, ¿qué condición deben cumplir los grados Celsius?

  6. Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.DEFINICION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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