Resolución analítica de una inecuación lineal por despeje
Resolver inecuaciones lineales utilizando las propiedades de las desigualdades, prestando especial atención a los cambios de signo
Introducción
Resolver una inecuación lineal es muy similar a resolver una ecuación lineal. El objetivo sigue siendo aislar la incógnita. Sin embargo, en las inecuaciones hay una regla fundamental que marca la diferencia en el proceso.
Explicación
Definición formal
Una inecuación lineal en una variable, tras agrupar términos, se puede reducir a la forma $ax < b$, $ax \\le b$, $ax > b$ o $ax \\ge b$.
Resolverla significa encontrar todos los valores de $x$ que hacen verdadera la desigualdad. Para despejar $x$, se divide por el coeficiente $a$:
- Si $a > 0$, la dirección de la desigualdad se mantiene. Por ejemplo, de $ax < b$ pasamos a $x < \\frac{b}{a}$.
- Si $a < 0$, la dirección de la desigualdad se invierte. Por ejemplo, de $ax < b$ pasamos a $x > \\frac{b}{a}$.
Desarrollo didáctico
Imagina que tienes una desigualdad verdadera, como $4 > 2$. Si sumas o restas el mismo número a ambos lados, digamos sumamos 1, obtenemos $5 > 3$, y la desigualdad se mantiene correcta. Si multiplicamos por un positivo, digamos 2, obtenemos $8 > 4$, y también se mantiene.
Pero mira qué sucede si multiplicamos $4 > 2$ por $-1$. Obtenemos $-4$ en la izquierda y $-2$ en la derecha. Si mantuviéramos el signo tendríamos $-4 > -2$, ¡lo cual es falso! El número $-2$ es mayor que $-4$. Por lo tanto, debemos invertir el signo - $-4 < -2$.
Esta misma lógica aplica cuando despejamos la $x$ en una inecuación algebraicamente. Es el único "cuidado especial" que debemos tener en el despeje en comparación con las ecuaciones normales.
Cómo hacerlo paso a paso
- Eliminar paréntesis y simplificar términos semejantes en ambos lados de la inecuación.
- Agrupar todos los términos que contienen la incógnita en un lado de la inecuación (generalmente a la izquierda) y los términos constantes en el otro.
- Simplificar nuevamente para dejar un único término con la incógnita y un único número en el otro lado.
- Despejar la incógnita dividiendo ambos lados por su coeficiente. Si este coeficiente es negativo, invertir inmediatamente el símbolo de la desigualdad.
Ejemplos
1 Resolver la inecuación $3x - 5 < 7$.
- Sumamos 5 a ambos lados para agrupar constantes - $3x < 7 + 5$.
- Simplificamos - $3x < 12$.
- Dividimos ambos lados entre 3, que es positivo (el signo no cambia) - $x < \frac{12}{3}$.
- Obtenemos $x < 4$. La solución es el intervalo $(-\infty, 4)$.
2 Resolver la inecuación $2 - 4x \\ge 14$.
- Restamos 2 en ambos miembros - $-4x \ge 14 - 2$.
- Simplificamos - $-4x \ge 12$.
- Dividimos ambos lados entre $-4$. Como estamos dividiendo por un número negativo, debemos invertir el signo de $\ge$ a $\le$.
- Calculamos $x \le \frac{12}{-4}$.
- Concluimos $x \le -3$. El intervalo solución es $(-\infty, -3]$.
3 ¿Se debe invertir el signo al restar un número en ambos lados?
- La propiedad de la suma y resta de desigualdades indica que sumar o restar cualquier número real a ambos lados no altera el sentido de la desigualdad.
- Por ejemplo, si tenemos $x + 5 > 2$ y restamos 5, obtenemos $x > -3$.
- El signo solo se invierte al multiplicar o dividir por una cantidad negativa.
4 ¿Es correcto que la solución de $-x < 5$ es $x > -5$?
- La expresión $-x < 5$ equivale a $-1 \cdot x < 5$.
- Para despejar $x$, dividimos ambos lados de la inecuación por $-1$.
- Como estamos dividiendo por un número negativo, debemos invertir el sentido del menor que al mayor que.
- El resultado es $x > -5$, lo cual es una proposición matemática correcta.
Ejemplos Verdadero/Falso
"No invertir el sentido de la desigualdad al dividir o multiplicar ambos miembros por un número negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el símbolo de desigualdad al dividir un lado negativo por un coeficiente positivo (ejemplo: de $2x < -8$ pasar a $x > -4$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al pasar términos sumando o restando (transposición), invertir erróneamente el signo de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Restar mal los coeficientes algebraicos, como operar $3x - 5x$ y escribir la inecuación sin el signo negativo del coeficiente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que un signo menor que siempre corresponde a la izquierda y un mayor que a la derecha independientemente del despeje realizado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El proceso de resolución de inecuaciones lineales se basa en agrupar términos semejantes y despejar la incógnita. Se aplican las mismas operaciones aritméticas que en las ecuaciones, con la única excepción de que multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo cambia la dirección del signo de desigualdad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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Al resolver una inecuación lineal, ¿en qué caso específico se debe invertir el sentido de la desigualdad?
La regla de inversión de las desigualdades únicamente aplica cuando las operaciones de multiplicación o división involucran factores estrictamente negativos.
Respuesta: Al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo.
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Si $c < 0$ y partimos de la desigualdad verdadera $a > b$, ¿qué afirmación se cumple siempre?
Dado que multiplicamos la desigualdad $a > b$ por el número negativo $c$, el sentido de la desigualdad debe cambiar obligatoriamente a $ac < bc$.
Respuesta: $ac < bc$
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¿Qué sucede con el símbolo de desigualdad al restar un número positivo en ambos miembros de una inecuación?
La propiedad aditiva de las desigualdades establece que se puede sumar o restar el mismo número a ambos lados sin alterar el sentido de la desigualdad.
Respuesta: Se mantiene igual.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Se muestra un paso de la resolución de una inecuación. Paso 1: $-3x \ge 12$. Paso 2: $x \le -4$. ¿Es válido el razonamiento aplicado de pasar del Paso 1 al Paso 2?
Al dividir ambos miembros por el coeficiente negativo ($-3$), el sentido de la desigualdad $\ge$ debe invertirse a $\le$.
Respuesta: Sí, porque se dividió por $-3$ y se invirtió correctamente el signo de la desigualdad.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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La inecuación $5x + 3 < 18$ tiene como solución $x < 3$.
Restando 3 a ambos lados: $5x < 15$. Dividiendo entre 5, obtenemos $x < 3$.
Respuesta: True
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La inecuación $-2x < 10$ se resuelve correctamente como $x < -5$.
Al dividir por $-2$, hay que invertir el signo de la desigualdad. Por tanto, la respuesta correcta es $x > -5$, no $x < -5$.
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Para resolver $4x - 7 \ge 6x + 5$, si agrupamos las $x$ en la derecha, obtenemos una inecuación equivalente a $-12 \ge 2x$.
Restamos $4x$ de ambos lados: $-7 \ge 2x + 5$. Luego restamos 5 de ambos lados: $-12 \ge 2x$. La proposición es verdadera.
Respuesta: True
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación $\frac{x}{3} - 1 > \frac{x}{2} + \frac{1}{6}$?
Multiplicando todos los términos por 6 (el MCM): $2x - 6 > 3x + 1$. Restando $2x$ y $1$ a ambos lados: $-7 > x$, lo que equivale a $x < -7$.
Respuesta: $(-\infty, -7)$
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Dado el sistema de inecuaciones $2x - 5 < 3$ y $-3x \le 6$, ¿cuál es su conjunto solución?
La primera inecuación $2x - 5 < 3$ se resuelve obteniendo $x < 4$. La segunda $-3x \le 6$ se resuelve dividiendo por $-3$ e invirtiendo el signo, dando $x \ge -2$. La intersección de ambas soluciones es el intervalo $[-2, 4)$.
Respuesta: $[-2, 4)$
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Si $a$ y $b$ son constantes reales tales que $a < 0$ y $b > 0$, ¿cuál es la solución de la inecuación $ax + b < 0$?
Restando $b$ de ambos lados, se tiene $ax < -b$. Como $a < 0$, al dividir ambos lados entre $a$ debemos invertir el sentido de la desigualdad, obteniendo $x > \frac{-b}{a}$ o $x > -\frac{b}{a}$.
Respuesta: $x > -\frac{b}{a}$