Resolución analítica de una inecuación lineal por despeje

Resumen inicial

Resolver analíticamente una inecuación lineal consiste en aislar la incógnita aplicando las propiedades de las desigualdades.

Explicación en palabras simples

Para despejar una inecuación lineal usamos los mismos pasos que en las ecuaciones:
1. Movemos los términos sumando o restando al otro lado cambiando su signo.
2. Si el número que multiplica a la $x$ es positivo, pasa dividiendo sin cambiar el símbolo de la inecuación.
3. Si el número que multiplica a la $x$ es negativo, pasa dividiendo e INVERTIMOS el símbolo de la inecuación.

Explicación formal

Dada la inecuación lineal $a x + b > c$, su algoritmo de despeje analítico es:

$$a x > c - b$$
$$x > \frac{c - b}{a} \quad \text{si } a > 0$$
$$x < \frac{c - b}{a} \quad \text{si } a < 0$$

Desglose de la fórmula:
- Inversión del operador de orden según la condición de signo del coeficiente principal $a$.

Definiciones clave

Despeje analítico de inecuación: Proceso algebraico para determinar la condición inequivalente de la incógnita $x$.
Regla del coeficiente: Condición de inversión del operador al dividir por $a < 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Equivalencia de desigualdades: Producir inecuaciones equivalentes con el mismo conjunto solución $S$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Resolución analítica de una inecuación lineal por despeje

Resuelve la inecuación lineal $4x - 7 > 9$ mediante despeje analítico y representa el conjunto solución.

Paso 1: Trasponer la constante $-7$ sumando al segundo miembro: $4x > 9 + 7$.Paso 2: Sumar las constantes: $4x > 16$.Paso 3: Trasponer el coeficiente positivo $4$ dividiendo (sin invertir el sentido): $x > \frac{16}{4}$.Paso 4: Obtener la solución: $x > 4$.Paso 5: Escribir en notación de intervalo: $S = ]4, +\infty[$.

Procedimiento

Paso 1: Trasponer los términos independientes al segundo miembro sumando o restando.
Paso 2: Reducir las constantes numéricas.
Paso 3: Dividir entre el coeficiente de la variable $x$.
Paso 4: Invertir el símbolo solo si el divisor es negativo.
Paso 5: Presentar el conjunto solución.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Invertir el símbolo de desigualdad al trasponer un número positivo.
Cómo corregirlo: El símbolo solo se invierte cuando el número que pasa a MULTIPLICAR o DIVIDIR es negativo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al despejar $-2x \le 8$, dividir entre $-2$ mantiene el operador obteniendo $x \le -4$."

"Al despejar $3x - 7 \le 11$, el término $-7$ pasa al otro miembro dividiendo como $\frac{11}{-7}$."

"En el despeje de $5x + 4 > 19$, restar $4$ en ambos lados exige invertir el sentido de la desigualdad."

"Aislar la incógnita $x$ en un miembro permite determinar la frontera y dirección del conjunto solución."

"El procedimiento analítico de despeje solo se aplica cuando todos los coeficientes son números enteros positivos."

"Despejar una inecuación lineal requiere elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la variable."

"El despeje analítico de una inecuación aplica propiedades aditivas y multiplicativas manteniendo o invirtiendo el operador según el signo del divisor/multiplicador."

Al terminar debes poder

Resumen Resolución analítica de una inecuación lineal por despeje

Resolver inecuaciones lineales mediante despeje analítico paso a paso.

Aplicando propiedades aditivas y multiplicativas para aislar la incógnita $x$ en uno de los miembros de la desigualdad.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Al resolver una inecuación lineal, ¿en qué caso específico se debe invertir el sentido de la desigualdad?
La regla de inversión de las desigualdades únicamente aplica cuando las operaciones de multiplicación o división involucran factores estrictamente negativos.

Respuesta: Al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo.
Si $c < 0$ y partimos de la desigualdad verdadera $a > b$, ¿qué afirmación se cumple siempre?
Dado que multiplicamos la desigualdad $a > b$ por el número negativo $c$, el sentido de la desigualdad debe cambiar obligatoriamente a $ac < bc$.

Respuesta: $ac < bc$
¿Qué sucede con el símbolo de desigualdad al restar un número positivo en ambos miembros de una inecuación?
La propiedad aditiva de las desigualdades establece que se puede sumar o restar el mismo número a ambos lados sin alterar el sentido de la desigualdad.

Respuesta: Se mantiene igual.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Se muestra un paso de la resolución de una inecuación. Paso 1: $-3x \ge 12$. Paso 2: $x \le -4$. ¿Es válido el razonamiento aplicado de pasar del Paso 1 al Paso 2?
Al dividir ambos miembros por el coeficiente negativo ($-3$), el sentido de la desigualdad $\ge$ debe invertirse a $\le$.

Respuesta: Sí, porque se dividió por $-3$ y se invirtió correctamente el signo de la desigualdad.
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
La inecuación $5x + 3 < 18$ tiene como solución $x < 3$.
Restando 3 a ambos lados: $5x < 15$. Dividiendo entre 5, obtenemos $x < 3$.

Respuesta: True
La inecuación $-2x < 10$ se resuelve correctamente como $x < -5$.
Al dividir por $-2$, hay que invertir el signo de la desigualdad. Por tanto, la respuesta correcta es $x > -5$, no $x < -5$.
Para resolver $4x - 7 \ge 6x + 5$, si agrupamos las $x$ en la derecha, obtenemos una inecuación equivalente a $-12 \ge 2x$.
Restamos $4x$ de ambos lados: $-7 \ge 2x + 5$. Luego restamos 5 de ambos lados: $-12 \ge 2x$. La proposición es verdadera.

Respuesta: True
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.RESOLUCION_DESPEJE (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación $\frac{x}{3} - 1 > \frac{x}{2} + \frac{1}{6}$?
Multiplicando todos los términos por 6 (el MCM): $2x - 6 > 3x + 1$. Restando $2x$ y $1$ a ambos lados: $-7 > x$, lo que equivale a $x < -7$.

Respuesta: $(-\infty, -7)$
Dado el sistema de inecuaciones $2x - 5 < 3$ y $-3x \le 6$, ¿cuál es su conjunto solución?
La primera inecuación $2x - 5 < 3$ se resuelve obteniendo $x < 4$. La segunda $-3x \le 6$ se resuelve dividiendo por $-3$ e invirtiendo el signo, dando $x \ge -2$. La intersección de ambas soluciones es el intervalo $[-2, 4)$.

Respuesta: $[-2, 4)$
Si $a$ y $b$ son constantes reales tales que $a < 0$ y $b > 0$, ¿cuál es la solución de la inecuación $ax + b < 0$?
Restando $b$ de ambos lados, se tiene $ax < -b$. Como $a < 0$, al dividir ambos lados entre $a$ debemos invertir el sentido de la desigualdad, obteniendo $x > \frac{-b}{a}$ o $x > -\frac{b}{a}$.

Respuesta: $x > -\frac{b}{a}$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación