Conteo de casos con restricciones simples
Aplicar los principios de conteo a situaciones con restricciones simples, como una posición fija o una condición particular que limita las opciones.
Introducción
Muchos problemas de conteo incluyen condiciones adicionales (por ejemplo, 'una persona debe ir siempre primera'), que reducen el número de opciones a considerar en alguna etapa.
Explicación
Definición formal
Si un elemento tiene una posición fija entre $n$ elementos totales, el conteo de las posiciones restantes se realiza sobre los $n-1$ elementos libres, aplicando el principio correspondiente (por ejemplo, permutaciones).
Desarrollo didáctico
Si 3 personas (A, B, C) forman una fila, y A debe ir siempre primero, entonces solo quedan por ordenar B y C en las dos posiciones restantes: $2!=2$ formas posibles (ABC, ACB).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la restricción específica del problema (posición fija, condición particular).
- Paso 2: Fija esa restricción como un hecho dado, sin contarla como una opción adicional.
- Paso 3: Aplica los principios de conteo normales (aditivo o multiplicativo) al resto de los elementos no restringidos.
Ejemplos
1 3 personas (A,B,C), A siempre primero.
- Quedan 2 personas para 2 posiciones: 2!=2 formas (ABC, ACB).
2 Contraseña de 3 dígitos, el primero debe ser impar (5 opciones: 1,3,5,7,9), los otros dos sin restricción (10 opciones cada uno).
- 5×10×10=500 contraseñas posibles.
3 ¿Una restricción reduce el número de opciones en la etapa afectada?
- Sí, es el efecto directo de aplicar una restricción al conteo.
4 ¿Se puede aplicar el principio multiplicativo normalmente a las etapas no restringidas?
- Sí, una vez fijada la restricción, el resto del conteo sigue las reglas habituales.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Contar la posición restringida como si tuviera múltiples opciones, cuando en realidad está fija."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar reducir el número de elementos disponibles para las posiciones restantes tras fijar la restricción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el principio incorrecto (aditivo en vez de multiplicativo) al resto de las posiciones no restringidas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para contar casos con restricciones, se separa el elemento restringido (asignándole su posición fija u opción limitada) y se aplican los principios de conteo normales al resto de los elementos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al contar casos con una restricción de posición fija, se debe:
Es el procedimiento correcto para manejar restricciones simples.
Respuesta: A) Fijar esa posición y contar normalmente el resto de los elementos
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Con 3 personas y A siempre primero, hay 2 formas de ordenar al resto.
2!=2 formas para B y C.
Respuesta: Verdadero
-
Con 4 personas (A,B,C,D) y A siempre en la última posición, ¿cuántas formas hay de ordenar al resto?
3!=6 formas de ordenar a B, C, D en las primeras 3 posiciones.
Respuesta: A) 6
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Una restricción de posición fija siempre aumenta el número total de casos posibles.
Una restricción reduce el número de casos posibles, no lo aumenta.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Una contraseña de 3 dígitos debe empezar con 7 (fijo), y los otros 2 dígitos son libres (10 opciones cada uno). ¿Cuántas contraseñas hay?
1×10×10=100 (el primer dígito está fijo, sin opciones adicionales).
Respuesta: A) 100
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Con 5 libros en un estante y uno de ellos siempre en el extremo izquierdo, hay 4!=24 formas de ordenar el resto.
Quedan 4 libros libres para las 4 posiciones restantes.
Respuesta: Verdadero
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Una contraseña de 4 dígitos debe terminar en 0 (fijo), y los otros 3 dígitos son libres (10 opciones cada uno). ¿Cuántas contraseñas hay?
10×10×10×1=1000.
Respuesta: A) 1000
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error más común al contar casos con restricciones?
Es el error más frecuente en problemas de conteo con restricciones.
Respuesta: A) Olvidar reducir el número de opciones disponibles para las posiciones o elementos no restringidos
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Los problemas de conteo con restricciones son la base conceptual para calcular permutaciones y combinaciones con condiciones especiales, tema del siguiente bloque.
Es la conexión directa con los temas más avanzados de permutaciones y combinaciones.
Respuesta: Verdadero
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En una fila de 6 personas, 2 amigas deben quedar siempre juntas al principio (en las posiciones 1 y 2, en cualquier orden entre ellas), y las otras 4 personas se ordenan libremente en el resto. ¿Cuántas formas hay en total?
2! formas de ordenar a las 2 amigas entre sí, multiplicado por 4! formas de ordenar al resto.
Respuesta: A) 2!×4!=48