Simplificación de cocientes con factoriales

M2 — PAES electiva Media
Objetivo

Simplificar cocientes de factoriales cancelando los términos comunes, sin necesidad de calcular ambos factoriales completos.

En fórmulas de conteo, es habitual encontrar cocientes de factoriales; calcularlos por simplificación directa es mucho más eficiente que calcular ambos valores completos y luego dividir.

Explicación

Simplificación de cocientes con factoriales

Definición formal

$\dfrac{n!}{m!}=n\times(n-1)\times\cdots\times(m+1)$, cancelando los factores comunes desde $m$ hasta 1.

Desarrollo didáctico

$\dfrac{8!}{5!}=\dfrac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1}=8\times7\times6=336$, ya que los factores del 5 hacia abajo se cancelan.

Procedimiento

  • Paso 1: Identifica el factorial mayor (numerador) y el menor (denominador).
  • Paso 2: Reescribe el numerador como el producto de los factores desde n hasta (m+1), multiplicado por m!.
  • Paso 3: Cancela el m! común entre numerador y denominador, dejando solo el producto de los factores restantes.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 8!/5!.
2 10!/8!.
3 ¿Es más eficiente simplificar que calcular ambos factoriales completos?
4 ¿Se cancelan siempre los factores desde el denominador hacia abajo?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Cancelar incorrectamente los factores, dejando algunos de más o de menos en el resultado."
"Calcular ambos factoriales completos y luego dividir, en vez de simplificar directamente."
"Declarar el orden del cociente, calculando m!/n! en vez de n!/m!."
Fuente: Elaboración propia (referencia: Baldor 373, Moraleja 299).
Resumen

Un cociente de factoriales como $\dfrac{n!}{m!}$ (con $n>m$) se simplifica escribiendo solo los factores de $n!$ que no aparecen en $m!$, es decir, $n\times(n-1)\times\cdots\times(m+1)$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El cociente n!/m! (con n>m) se simplifica como:

  2. 8!/5!=8×7×6=336.

  3. ¿Cuál es el valor de 10!/8!?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Para simplificar n!/m!, se debe calcular ambos factoriales completos y luego dividir.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Cuál es el valor de 7!/4!?

  2. 6!/3!=120.

  3. ¿Cuál es el valor de 9!/7!?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Esta técnica de simplificación es la misma que se usa para calcular directamente el número de variaciones sin repetición.

  2. ¿Cuál es el valor simplificado de 12!/9!?

  3. ¿Por qué esta técnica de simplificación es especialmente útil en las fórmulas de permutaciones y combinaciones?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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