Cálculo de variaciones de n elementos tomados de a r sin repetición
Calcular el número de variaciones de n elementos tomados de a r, sin repetición, donde el orden importa y no se reutiliza ningún elemento.
A diferencia de las permutaciones (que usan todos los elementos), las variaciones seleccionan y ordenan solo una parte r de los n elementos disponibles.
Explicación
Definición formal
$V(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-r+1)$, seleccionando y ordenando $r$ elementos de un total de $n$, sin repetir ninguno.
Desarrollo didáctico
Si hay 5 personas y se deben asignar 3 puestos distintos (primero, segundo, tercer lugar), el número de formas es $V(5,3)=\dfrac{5!}{2!}=5\times4\times3=60$.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica el número total de elementos n y el número r de elementos que se seleccionan y ordenan.
- Paso 2: Aplica la fórmula V(n,r)=n!/(n-r)!, o equivalentemente multiplica los r factores decrecientes desde n.
- Paso 3: Verifica que el resultado tenga sentido (sea un número entero positivo, y que r≤n).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- V(5,3)=5×4×3=60.
- V(8,2)=8×7=56.
- Sí, cada asignación distinta de posiciones (por ejemplo, quién queda primero vs. segundo) cuenta como un caso diferente.
- No, cada elemento se usa como máximo una vez en cada arreglo (es 'sin repetición').
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El número de variaciones de $n$ elementos distintos tomados de a $r$ (sin repetición, $r\leq n$) es $V(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La fórmula de variaciones sin repetición V(n,r) es:
Es la fórmula formal de variaciones sin repetición.
Respuesta: A) n!/(n-r)!
-
En una variación, el orden de los elementos seleccionados importa.
Es la característica que la distingue de una combinación.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de V(5,3)?
5×4×3=60.
Respuesta: A) 60
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En una variación sin repetición, un elemento puede usarse más de una vez en el mismo arreglo.
Cada elemento se usa como máximo una vez, por eso se llama 'sin repetición'.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el valor de V(8,2)?
8×7=56.
Respuesta: A) 56
-
V(6,4)=360.
6×5×4×3=360.
Respuesta: Verdadero
-
En una carrera de 10 corredores, ¿de cuántas formas se pueden asignar los 3 primeros lugares (oro, plata, bronce)?
V(10,3)=10×9×8=720.
Respuesta: A) 720
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Por qué en las variaciones se usa (n-r)! en el denominador de la fórmula?
Es la justificación algebraica de la fórmula, conectada con la simplificación de factoriales.
Respuesta: A) Porque permite cancelar los factores no utilizados de n!, dejando solo los r factores relevantes
-
Cuando r=n, la fórmula de variaciones se reduce exactamente a la de permutaciones (V(n,n)=n!).
Ya que (n-n)!=0!=1, V(n,n)=n!/1=n!.
Respuesta: Verdadero
-
En un concurso con 12 participantes, se otorgan 3 premios distintos (primero, segundo, tercero). ¿De cuántas formas se pueden entregar?
V(12,3)=12×11×10=1320.
Respuesta: A) 1320