Cálculo de variaciones de n elementos tomados de a r con repetición
Calcular el número de variaciones de n elementos tomados de a r, permitiendo que un mismo elemento se repita en distintas posiciones.
Introducción
En situaciones como claves numéricas o códigos, un mismo símbolo puede repetirse en distintas posiciones, lo que cambia la fórmula de conteo respecto de las variaciones sin repetición.
Explicación
Definición formal
$VR(n,r)=n^r$, ya que cada una de las $r$ posiciones puede llenarse con cualquiera de los $n$ elementos disponibles, de forma independiente y repetible.
Desarrollo didáctico
Una clave numérica de 4 dígitos, cada uno del 0 al 9 (10 opciones, repetibles), tiene $VR(10,4)=10^4=10.000$ claves posibles.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el número n de símbolos o elementos disponibles, y el número r de posiciones a llenar.
- Paso 2: Verifica que se permita la repetición de elementos en distintas posiciones.
- Paso 3: Calcula n elevado a la potencia r para obtener el total de variaciones con repetición.
Ejemplos
1 10 dígitos posibles (0-9), 4 posiciones, repetición permitida.
- VR(10,4)=10⁴=10.000 claves posibles.
2 3 letras posibles, 3 posiciones, repetición permitida.
- VR(3,3)=3³=27 cadenas posibles.
3 ¿Se permite repetir un mismo elemento en distintas posiciones?
- Sí, es la característica que define esta variación 'con repetición'.
4 ¿VR(n,r) siempre da un resultado mayor o igual que V(n,r) (sin repetición)?
- Sí, permitir repetición siempre genera al menos tantas combinaciones como sin permitirla.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir esta fórmula (n^r) con la de variaciones sin repetición (n!/(n-r)!)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta fórmula a situaciones donde en realidad no se permite repetir elementos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular incorrectamente la potencia, confundiendo la base (n) con el exponente (r)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El número de variaciones con repetición de $n$ elementos tomados de a $r$ es $VR(n,r)=n^r$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La fórmula de variaciones con repetición VR(n,r) es:
Es la fórmula de variaciones con repetición.
Respuesta: A) n^r
-
En variaciones con repetición, un mismo elemento puede aparecer en más de una posición.
Es la característica que las distingue de las variaciones sin repetición.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántas claves de 4 dígitos (0-9, repetibles) existen?
10⁴=10.000.
Respuesta: A) 10.000
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
VR(n,r) siempre es menor que V(n,r) sin repetición.
VR(n,r) es siempre mayor o igual que V(n,r), ya que permite más combinaciones al repetir elementos.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuántas cadenas de 3 letras hay usando solo A, B, C (repetibles)?
3³=27.
Respuesta: A) 27
-
Con 2 símbolos posibles (0 y 1) en 8 posiciones (repetibles), hay 256 secuencias posibles.
2⁸=256.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántas contraseñas de 5 dígitos (0-9, repetibles) existen?
10⁵=100.000.
Respuesta: A) 100.000
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Por qué la fórmula n^r es aplicable a este tipo de conteo?
Es la justificación combinatoria de esta fórmula.
Respuesta: A) Porque cada una de las r posiciones tiene exactamente n opciones independientes, aplicando el principio multiplicativo r veces
-
Esta fórmula es la misma que se usa para calcular el espacio muestral de lanzar n monedas (2^n) o n dados (6^n).
Es exactamente el mismo principio aplicado en esos contextos previos.
Respuesta: Verdadero
-
Una matrícula vehicular usa 4 letras (26 opciones cada una, repetibles). ¿Cuántas combinaciones de letras son posibles?
26⁴=456.976.
Respuesta: A) 456.976