Cálculo de permutaciones con elementos repetidos
Calcular el número de permutaciones de un conjunto que contiene elementos repetidos, dividiendo el factorial total por los factoriales de cada grupo de repetidos.
Introducción
Cuando algunos elementos de un conjunto son idénticos entre sí, muchas de las permutaciones 'aparentes' resultan indistinguibles, por lo que se debe dividir para no contarlas más de una vez.
Explicación
Definición formal
Si entre los $n$ elementos hay grupos indistinguibles de tamaños $n_1,n_2,\ldots$ (con $n_1+n_2+\cdots=n$), el número de arreglos distintos es $\dfrac{n!}{n_1!\times n_2!\times\cdots}$.
Desarrollo didáctico
La palabra 'MAMA' tiene 4 letras, con la M repetida 2 veces y la A repetida 2 veces. El número de arreglos distintos es $\dfrac{4!}{2!\times2!}=\dfrac{24}{4}=6$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el número total de elementos n y los grupos de elementos repetidos, con sus tamaños n1, n2, etc.
- Paso 2: Calcula n! (el total sin considerar las repeticiones).
- Paso 3: Divide ese valor por el producto de los factoriales de cada grupo repetido (n1!×n2!×...) para obtener el número de arreglos distintos.
Ejemplos
1 4 letras, M repetida 2 veces, A repetida 2 veces.
- 4!/(2!×2!)=24/4=6 arreglos distintos.
2 6 letras: B(1), A(3), N(2).
- 6!/(1!×3!×2!)=720/12=60 arreglos distintos.
3 ¿Se debe dividir por el factorial de cada grupo de elementos repetidos?
- Sí, para no contar como distintos los arreglos que en realidad son indistinguibles entre sí.
4 ¿Esta fórmula se reduce a n! si no hay ningún elemento repetido?
- Sí, ya que todos los grupos tendrían tamaño 1, y 1!=1 no afecta la división.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar dividir por el factorial de algún grupo de elementos repetidos, sobreestimando el conteo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el tamaño de cada grupo repetido, usando valores incorrectos en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta fórmula cuando en realidad todos los elementos son distintos (caso en que basta con n! directamente)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El número de permutaciones de $n$ elementos, donde hay grupos de elementos repetidos de tamaños $n_1, n_2, \ldots$, es $\dfrac{n!}{n_1!\times n_2!\times\cdots}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La palabra MAMA tiene 6 arreglos distintos posibles.
4!/(2!×2!)=6.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se divide por los factoriales de los grupos repetidos?
Es la justificación conceptual de esta división.
Respuesta: A) Porque intercambiar posiciones entre elementos idénticos no genera un arreglo realmente distinto
-
El número de permutaciones con elementos repetidos se calcula como:
Es la fórmula de permutaciones con repetidos.
Respuesta: A) n! dividido por el producto de los factoriales de cada grupo repetido
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si no hay elementos repetidos, esta fórmula da un resultado distinto al de n! simple.
Se reduce exactamente a n!, ya que cada grupo tendría tamaño 1 (1!=1).
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuántos arreglos distintos tiene la palabra 'ANANA' (5 letras: A(3), N(2))?
5!/(3!×2!)=120/12=10.
Respuesta: A) 10
-
La palabra 'BANANA' tiene 60 arreglos distintos posibles.
6!/(1!×3!×2!)=720/12=60.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántos arreglos distintos tiene la palabra 'MISSISSIPPI' considerando solo sus letras repetidas (11 letras: M(1), I(4), S(4), P(2))?
11!/(1!×4!×4!×2!)=39.916.800/1152=34.650.
Respuesta: A) 34.650
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error más común al calcular permutaciones con elementos repetidos?
Es el error más frecuente, especialmente con palabras que tienen varios grupos de letras repetidas.
Respuesta: A) Olvidar dividir por el factorial de alguno de los grupos repetidos
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Esta fórmula se puede generalizar a cualquier número de grupos de elementos repetidos, no solo a dos.
El denominador simplemente incluye el factorial de cada grupo adicional presente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántos arreglos distintos tiene la palabra 'ALELUYA' (7 letras: A(2), L(2), E(1), U(1), Y(1))?
7!/(2!×2!)=5040/4=1260.
Respuesta: A) 1260