Cálculo de permutaciones circulares de n elementos
Calcular el número de permutaciones circulares de n elementos distintos, donde las rotaciones de un mismo arreglo se consideran equivalentes.
Introducción
Al sentar personas alrededor de una mesa redonda, rotar a todos un puesto no genera un arreglo realmente distinto, por lo que la fórmula de conteo debe ajustarse respecto de la permutación lineal.
Explicación
Definición formal
Como cualquier rotación de un arreglo circular representa el mismo orden relativo, se fija la posición de un elemento (reduciendo el problema a ordenar los $n-1$ restantes): $P_c(n)=(n-1)!$.
Desarrollo didáctico
Con 4 personas en una mesa redonda, el número de arreglos circulares distintos es $(4-1)!=3!=6$, en vez de $4!=24$ (que sería el conteo si las rotaciones se consideraran distintas).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el número n de elementos distintos que se van a ordenar en círculo.
- Paso 2: Fija arbitrariamente la posición de uno de los elementos, para eliminar las rotaciones equivalentes.
- Paso 3: Calcula (n-1)! para ordenar el resto de los elementos alrededor del primero ya fijado.
Ejemplos
1 4 personas en una mesa redonda.
- Pc(4)=(4-1)!=3!=6 arreglos circulares distintos.
2 6 personas en una mesa redonda.
- Pc(6)=(6-1)!=5!=120 arreglos circulares distintos.
3 ¿Las rotaciones de un mismo arreglo circular se consideran el mismo caso?
- Sí, es la razón por la que se usa (n-1)! en vez de n!.
4 ¿El número de permutaciones circulares es siempre menor que el de permutaciones lineales para el mismo n?
- Sí, ya que (n-1)!<n! para cualquier n>1, al eliminar las n rotaciones equivalentes de cada arreglo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar la fórmula de permutación lineal (n!) en vez de la circular ((n-1)!), sobreestimando el conteo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que las rotaciones de un mismo arreglo circular no generan casos nuevos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir permutaciones circulares con permutaciones lineales en problemas de mesas redondas o arreglos cíclicos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El número de permutaciones circulares de $n$ elementos distintos es $P_c(n)=(n-1)!$, ya que se fija arbitrariamente la posición de un elemento para eliminar las rotaciones equivalentes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El número de permutaciones circulares de n elementos es:
Es la fórmula de permutaciones circulares.
Respuesta: A) (n-1)!
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Con 4 personas en una mesa redonda, hay 6 arreglos circulares distintos.
(4-1)!=3!=6.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se usa (n-1)! en vez de n! para permutaciones circulares?
Es la justificación conceptual de esta fórmula ajustada.
Respuesta: A) Porque las rotaciones de un mismo arreglo se consideran equivalentes, y se fija una posición para eliminarlas
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El número de permutaciones circulares es siempre mayor que el de permutaciones lineales para el mismo n.
Es siempre menor, ya que se eliminan las rotaciones equivalentes.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuántos arreglos circulares distintos hay con 5 personas en una mesa redonda?
(5-1)!=4!=24.
Respuesta: A) 24
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Con 7 personas en una mesa redonda, hay 720 arreglos circulares distintos.
(7-1)!=6!=720.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuántos collares distintos (considerando solo rotaciones, no reflexiones) se pueden formar con 6 cuentas distintas en un arreglo circular?
(6-1)!=5!=120.
Respuesta: A) 120
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuántos arreglos circulares distintos hay con 8 invitados en una mesa redonda?
(8-1)!=7!=5040.
Respuesta: A) 5040
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¿En qué situaciones reales se aplica el concepto de permutación circular?
Son ejemplos clásicos de aplicación de este concepto.
Respuesta: A) Al organizar personas en una mesa redonda, o al diseñar collares/arreglos cíclicos donde las rotaciones son equivalentes
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Si además se consideran equivalentes las reflexiones (como en un collar que se puede voltear), el conteo sería aún menor que (n-1)!.
Es una consideración adicional avanzada, que divide el resultado por 2 en esos casos específicos.
Respuesta: Verdadero