Cálculo de probabilidad binomial exacta P(X = k)
Aplicar la función de probabilidad binomial para calcular la probabilidad de un valor exacto de éxitos, P(X=k), en contextos aplicados.
Introducción
Este es el cálculo más directo del análisis binomial: aplicar la fórmula ya conocida a un valor específico de k, en una situación real.
Explicación
Definición formal
$P(X=k)=C(n,k)\times p^k\times q^{n-k}$, calculado para un valor específico de k pedido en el problema.
Desarrollo didáctico
Si $X\sim B(6;\,0{,}3)$, la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos es $P(X=2)=C(6,2)\times0{,}3^2\times0{,}7^4=15\times0{,}09\times0{,}2401\approx0{,}3241$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica n, p y el valor exacto de k pedido en el problema.
- Paso 2: Calcula C(n,k), p^k y q^(n-k) por separado.
- Paso 3: Multiplica los tres valores para obtener P(X=k).
Ejemplos
1 n=6, p=0,3, k=2.
- P(X=2)=C(6,2)×0,3²×0,7⁴=15×0,09×0,2401≈0,3241.
2 n=7, p=0,6, k=4.
- P(X=4)=C(7,4)×0,6⁴×0,4³=35×0,1296×0,064≈0,2903.
3 ¿Es necesario calcular C(n,k) para hallar P(X=k)?
- Sí, es parte esencial de la fórmula de probabilidad binomial.
4 ¿P(X=k) representa la probabilidad de un único valor exacto de X?
- Sí, a diferencia de 'al menos k' o 'a lo más k', que suman varios valores.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir 'exactamente k' con 'al menos k' o 'a lo más k', calculando la probabilidad incorrecta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el factor combinatorio C(n,k) al calcular P(X=k)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores al calcular las potencias de p y q, especialmente con exponentes altos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en una distribución $X\sim B(n,p)$ es $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para calcular P(X=k) se necesita el factor C(n,k).
Es parte de la fórmula de probabilidad binomial.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(5; 0,4), ¿cuál es el valor de P(X=2)?
P(X=2)=C(5,2)×0,4²×0,6³=10×0,16×0,216=0,3456.
Respuesta: A) 0,3456
-
P(X=k) representa la probabilidad de:
Es la interpretación de la probabilidad puntual P(X=k).
Respuesta: A) Obtener exactamente k éxitos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
P(X=k) es lo mismo que P(X≥k).
Son conceptos distintos: uno es puntual (exacto), el otro es acumulado (al menos).
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si X~B(4; 0,5), ¿cuál es el valor de P(X=3)?
P(X=3)=C(4,3)×0,5³×0,5¹=4×0,125×0,5=0,25.
Respuesta: A) 0,25
-
Si X~B(6; 0,5), P(X=6)=0,015625.
P(X=6)=C(6,6)×0,5⁶×0,5⁰=1×0,015625×1=0,015625.
Respuesta: Verdadero
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Un examen de 5 preguntas de verdadero/falso se responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de acertar exactamente 3?
P(X=3)=C(5,3)×0,5³×0,5²=10×0,125×0,25=0,3125.
Respuesta: A) 0,3125
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La suma de P(X=k) para k=0 hasta k=n siempre es igual a 1.
Es una propiedad general de cualquier función de probabilidad, cubriendo todos los valores posibles.
Respuesta: Verdadero
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Una fábrica produce artículos con 90% de calidad (sin fallas). Se revisan 6 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 no tengan fallas?
P(X=5)=C(6,5)×0,9⁵×0,1¹=6×0,59049×0,1≈0,3543.
Respuesta: A) 0,3543
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¿Por qué es importante distinguir 'exactamente k' de otras expresiones como 'al menos k' al resolver un problema binomial?
Es la razón central de este análisis, que se profundiza en los siguientes temas del bloque.
Respuesta: A) Porque cada expresión requiere un cálculo distinto (uno puntual, otros acumulados sumando varios valores de P(X=k))