Cálculo de probabilidad binomial entre dos valores de la variable
Calcular la probabilidad de que el número de éxitos se encuentre dentro de un rango específico, entre dos valores a y b.
Introducción
Muchos problemas piden la probabilidad de un rango de resultados (por ejemplo, 'entre 3 y 5 éxitos'), lo que requiere sumar las probabilidades puntuales de ese intervalo.
Explicación
Definición formal
$P(a\leq X\leq b)=P(X=a)+P(X=a+1)+\cdots+P(X=b)$, sumando todas las probabilidades puntuales dentro del intervalo cerrado.
Desarrollo didáctico
Si $X\sim B(5;\,0{,}4)$, la probabilidad de obtener entre 2 y 3 éxitos es $P(2\leq X\leq3)=P(X=2)+P(X=3)$, sumando ambos valores puntuales calculados con la fórmula binomial.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los valores límite a y b del rango preguntado (ambos inclusive).
- Paso 2: Calcula P(X=i) para cada valor entero i entre a y b.
- Paso 3: Suma todos esos valores para obtener P(a≤X≤b).
Ejemplos
1 n=5, p=0,4, rango de 2 a 3.
- P(X=2)=C(5,2)×0,4²×0,6³=10×0,16×0,216=0,3456. P(X=3)=C(5,3)×0,4³×0,6²=10×0,064×0,36=0,2304. P(2≤X≤3)=0,3456+0,2304=0,576.
2 n=4, p=0,25, rango de 1 a 2.
- P(X=1)=C(4,1)×0,25×0,75³=4×0,25×0,421875=0,421875. P(X=2)=C(4,2)×0,25²×0,75²=6×0,0625×0,5625≈0,2109. P(1≤X≤2)≈0,421875+0,2109=0,6328.
3 ¿El rango a≤X≤b incluye ambos extremos a y b?
- Sí, es un intervalo cerrado que incluye tanto el valor a como el valor b.
4 ¿Se puede calcular P(a≤X≤b) restando dos probabilidades acumuladas: P(X≤b)-P(X≤a-1)?
- Sí, es una forma alternativa y a veces más eficiente de calcular la probabilidad de un rango.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar incluir alguno de los extremos del rango (a o b) en la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el rango cerrado [a,b] con un rango abierto que excluye alguno de los extremos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores aritméticos al sumar varias probabilidades puntuales calculadas por separado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La probabilidad de que $X$ esté entre $a$ y $b$ (inclusive) es $P(a\leq X\leq b)=\sum_{i=a}^{b}P(X=i)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
P(a≤X≤b) se calcula como:
Es la definición de probabilidad en un rango cerrado.
Respuesta: A) La suma de P(X=i) para i desde a hasta b
-
El rango a≤X≤b incluye ambos valores extremos a y b.
Es un intervalo cerrado, incluye ambos extremos.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(X=2)=0,3 y P(X=3)=0,25, ¿cuál es el valor de P(2≤X≤3)?
P(2≤X≤3)=P(X=2)+P(X=3)=0,3+0,25=0,55.
Respuesta: A) 0,55
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
P(a≤X≤b) siempre se puede calcular restando P(X≤a-1) de P(X≤b).
Es una forma alternativa válida de calcular la probabilidad en un rango.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si P(X=1)=0,4, P(X=2)=0,3, P(X=3)=0,1, ¿cuál es P(1≤X≤3)?
0,4+0,3+0,1=0,8.
Respuesta: A) 0,8
-
Si X~B(6; 0,5), P(X=3)≈0,3125. P(3≤X≤3) es igual a P(X=3).
Cuando a=b, el rango se reduce a un único valor puntual.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(X≤4)=0,9 y P(X≤1)=0,3, ¿cuál es el valor de P(2≤X≤4)?
P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X≤1)=0,9-0,3=0,6.
Respuesta: A) 0,6
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es una estrategia eficiente para calcular P(a≤X≤b) cuando ya se conocen las probabilidades acumuladas P(X≤b) y P(X≤a-1)?
Es una alternativa eficiente cuando ya se dispone de las probabilidades acumuladas.
Respuesta: A) Restar P(X≤a-1) de P(X≤b)
-
El rango P(0≤X≤n) siempre es igual a 1, cubriendo todos los valores posibles de X.
Cubre absolutamente todos los valores posibles de la variable X, sumando 1.
Respuesta: Verdadero
-
Una empresa revisa 8 productos con probabilidad de falla p=0,1 cada uno. Si P(X≤2)=0,9619 y P(X≤0)=0,4305, ¿cuál es la probabilidad de que fallen entre 1 y 2 productos?
P(1≤X≤2)=P(X≤2)-P(X≤0)=0,9619-0,4305=0,5314.
Respuesta: A) 0,5314