Cálculo de probabilidad acumulada del tipo P(X ≤ k)
Calcular la probabilidad de obtener a lo más k éxitos, sumando las probabilidades puntuales de todos los valores desde 0 hasta k.
Muchos problemas preguntan por 'a lo más', 'como máximo' o 'no más de' k éxitos, lo que requiere sumar varias probabilidades puntuales, no una sola.
Explicación
Definición formal
$P(X\leq k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)=\sum_{i=0}^{k}C(n,i)p^i q^{n-i}$.
Desarrollo didáctico
Si $X\sim B(4;\,0{,}3)$, la probabilidad de obtener a lo más 1 éxito es $P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}2401+0{,}4116=0{,}6517$.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica el valor de k que delimita 'a lo más' (el máximo número de éxitos incluido).
- Paso 2: Calcula P(X=i) para cada valor de i desde 0 hasta k, inclusive.
- Paso 3: Suma todos esos valores para obtener P(X≤k).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- P(X=0)=0,7⁴=0,2401. P(X=1)=C(4,1)×0,3×0,7³=4×0,3×0,343=0,4116. P(X≤1)=0,2401+0,4116=0,6517.
- P(X=0)=0,125, P(X=1)=0,375, P(X=2)=0,375. P(X≤2)=0,125+0,375+0,375=0,875.
- Sí, 'a lo más k' significa 0, 1, 2, ..., hasta k inclusive.
- Sí, P(X≤k)=1-P(X>k), una alternativa útil cuando sumar directamente es más largo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La probabilidad de obtener a lo más $k$ éxitos es $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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P(X≤k) ('a lo más k') se calcula como:
Es la definición de probabilidad acumulada 'a lo más'.
Respuesta: A) La suma de P(X=0) hasta P(X=k)
-
'A lo más k' incluye el valor k dentro del conteo.
Incluye 0,1,...,k, hasta k inclusive.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(X=0)=0,2 y P(X=1)=0,3, ¿cuál es el valor de P(X≤1)?
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0,2+0,3=0,5.
Respuesta: A) 0,5
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
P(X≤k) es lo mismo que P(X=k).
P(X≤k) es una suma acumulada de varios valores, no un único valor puntual.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si P(X=0)=0,1, P(X=1)=0,25, P(X=2)=0,3, ¿cuál es P(X≤2)?
0,1+0,25+0,3=0,65.
Respuesta: A) 0,65
-
Si X~B(3; 0,5), P(X≤0)=P(X=0)=0,125.
P(X≤0) solo incluye el valor 0, ya que no hay valores menores.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(4; 0,2), P(X=0)=0,4096, P(X=1)=0,4096. ¿Cuál es P(X≤1)?
P(X≤1)=0,4096+0,4096=0,8192.
Respuesta: A) 0,8192
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
P(X≤n) siempre es igual a 1, donde n es el número total de ensayos.
Incluye todos los valores posibles de X, cubriendo el 100% del espacio muestral.
Respuesta: Verdadero
-
Un examen de 3 preguntas de verdadero/falso se responde al azar. Si P(X=0)=0,125, P(X=1)=0,375, ¿cuál es la probabilidad de acertar a lo más 1 pregunta?
P(X≤1)=0,125+0,375=0,5.
Respuesta: A) 0,5
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¿Cuál es una forma alternativa de calcular P(X≤k) sin sumar directamente todos los términos desde 0 hasta k?
Es una estrategia útil cuando sumar directamente muchos términos es más largo que calcular el complemento.
Respuesta: A) Calcular 1-P(X≥k+1), usando el complemento