Cálculo de la varianza de una variable binomial
Calcular la varianza de una variable binomial, que mide la dispersión de los valores de X respecto de su esperanza.
Introducción
La varianza cuantifica qué tan alejados, en promedio, están los posibles resultados respecto del valor esperado; es un paso previo necesario para calcular la desviación estándar.
Explicación
Definición formal
$\text{Var}(X)=n\times p\times q$, producto del número de ensayos por la probabilidad de éxito y la de fracaso.
Desarrollo didáctico
Si $X\sim B(20;\,0{,}5)$: $q=0{,}5$, entonces $\text{Var}(X)=20\times0{,}5\times0{,}5=5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los valores de n, p y calcula q=1-p.
- Paso 2: Multiplica n×p×q para obtener la varianza.
- Paso 3: Recuerda que este valor es necesario para calcular después la desviación estándar (su raíz cuadrada).
Ejemplos
1 X~B(20; 0,5).
- q=0,5. Var(X)=20×0,5×0,5=5.
2 X~B(50; 0,04).
- q=0,96. Var(X)=50×0,04×0,96=1,92.
3 ¿La varianza depende tanto de p como de q?
- Sí, es el producto n×p×q, involucrando ambos valores.
4 ¿La varianza puede ser un número negativo?
- No, ya que n, p y q son todos valores no negativos, su producto tampoco puede ser negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar calcular q=1-p antes de aplicar la fórmula de varianza."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la fórmula de varianza (n×p×q) con la de esperanza (n×p)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la varianza puede calcularse sin conocer tanto p como q."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La varianza de una variable $X\sim B(n,p)$ es $\text{Var}(X)=n\times p\times q$, donde $q=1-p$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La varianza de una distribución binomial se calcula como:
Es la fórmula de la varianza en el modelo binomial.
Respuesta: A) Var(X)=n×p×q
-
Si n=20 y p=0,5 (q=0,5), Var(X)=5.
20×0,5×0,5=5.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(25; 0,2), ¿cuál es el valor de Var(X)?
q=0,8. Var(X)=25×0,2×0,8=4.
Respuesta: A) 4
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La varianza puede ser un número negativo.
n, p y q son todos no negativos, su producto no puede ser negativo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si X~B(10; 0,3), ¿cuál es el valor de Var(X)?
q=0,7. Var(X)=10×0,3×0,7=2,1.
Respuesta: A) 2,1
-
Si X~B(100; 0,1), Var(X)=9.
q=0,9. Var(X)=100×0,1×0,9=9.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(16; 0,25), ¿cuál es el valor de Var(X)?
q=0,75. Var(X)=16×0,25×0,75=3.
Respuesta: A) 3
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿En qué caso la varianza de una distribución binomial (con n fijo) es máxima?
El producto p×q se maximiza cuando p=q=0,5, dando la mayor dispersión posible.
Respuesta: A) Cuando p=0,5 (y por lo tanto q=0,5 también)
-
Cuando p=0 o p=1, la varianza de la distribución binomial es igual a 0.
En esos casos, q=1 o q=0 respectivamente, haciendo que p×q=0, sin dispersión (el resultado es siempre el mismo).
Respuesta: Verdadero
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Una empresa revisa 80 productos, con probabilidad de falla p=0,05. ¿Cuál es la varianza del número de productos con falla?
q=0,95. Var(X)=80×0,05×0,95=3,8.
Respuesta: A) 3,8