Cálculo de la esperanza matemática de una variable binomial
Calcular el valor esperado (media) del número de éxitos en una distribución binomial, usando la fórmula E(X)=n×p.
La esperanza indica, en promedio, cuántos éxitos se espera obtener si se repitiera muchas veces el experimento binomial completo.
Explicación
Definición formal
$E(X)=n\times p$, el producto entre el número de ensayos y la probabilidad de éxito en cada uno.
Desarrollo didáctico
Si se lanza una moneda 20 veces ($n=20$, $p=0{,}5$), el número esperado de caras es $E(X)=20\times0{,}5=10$: en promedio, se espera obtener 10 caras.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica los valores de n (número de ensayos) y p (probabilidad de éxito).
- Paso 2: Multiplica n por p para obtener E(X).
- Paso 3: Interpreta el resultado como el número promedio de éxitos esperado si se repitiera el experimento muchas veces.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- E(X)=20×0,5=10 caras esperadas en promedio.
- E(X)=50×0,04=2 artículos defectuosos esperados en promedio.
- Sí, es la fórmula general de la esperanza en una distribución binomial.
- No, E(X) es un promedio teórico y puede resultar en un valor decimal, aunque X en sí solo tome valores enteros.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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La esperanza (media) de una variable $X\sim B(n,p)$ es $E(X)=\mu=n\times p$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La esperanza de una distribución binomial se calcula como:
Es la fórmula de la esperanza en el modelo binomial.
Respuesta: A) E(X)=n×p
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Si n=20 y p=0,5, entonces E(X)=10.
20×0,5=10.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(40; 0,25), ¿cuál es el valor de E(X)?
E(X)=40×0,25=10.
Respuesta: A) 10
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
E(X) siempre debe ser un número entero.
Puede ser decimal, ya que es un promedio teórico.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si X~B(30; 0,1), ¿cuál es el valor de E(X)?
E(X)=30×0,1=3.
Respuesta: A) 3
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Si X~B(15; 0,4), E(X)=6.
15×0,4=6.
Respuesta: Verdadero
-
Una máquina produce piezas con 3% de defectos. Se revisan 200 piezas. ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas?
E(X)=200×0,03=6.
Respuesta: A) 6
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si se duplica el número de ensayos n (manteniendo p constante), la esperanza E(X) también se duplica.
E(X)=n×p es directamente proporcional a n.
Respuesta: Verdadero
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Una tienda estima que el 15% de los clientes que entran realizan una compra. Si un día entran 120 clientes, ¿cuántas compras se esperan en promedio?
E(X)=120×0,15=18.
Respuesta: A) 18
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¿Por qué E(X)=n×p tiene sentido intuitivo?
Es la justificación intuitiva de la fórmula de esperanza.
Respuesta: A) Porque si cada ensayo aporta en promedio p 'unidades de éxito', al repetir n veces se espera acumular n×p éxitos en total