Cálculo de la desviación estándar de una variable binomial
Calcular la desviación estándar de una variable binomial como la raíz cuadrada de su varianza.
La desviación estándar expresa la dispersión en las mismas unidades que la variable original, siendo más interpretable que la varianza en algunos contextos.
Explicación
Definición formal
$\sigma=\sqrt{n\,p\,q}$, la raíz cuadrada de la varianza $n\,p\,q$.
Desarrollo didáctico
Si $X\sim B(20;\,0{,}5)$, la varianza es $\text{Var}(X)=5$, por lo tanto $\sigma=\sqrt{5}\approx2{,}24$.
Procedimiento
- Paso 1: Calcula primero la varianza Var(X)=n×p×q.
- Paso 2: Calcula la raíz cuadrada de ese valor para obtener σ.
- Paso 3: Interpreta σ como la dispersión típica de X respecto de su esperanza, en las mismas unidades que X.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- σ=√5≈2,24.
- σ=√9=3.
- Sí, es la definición de desviación estándar en cualquier distribución de probabilidad.
- No, la raíz cuadrada de un valor no negativo (la varianza) siempre da un resultado no negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La desviación estándar de una variable $X\sim B(n,p)$ es $\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{n\,p\,q}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La desviación estándar de una distribución binomial es:
Es la definición de desviación estándar.
Respuesta: A) La raíz cuadrada de la varianza
-
Si Var(X)=9, entonces σ=3.
σ=√9=3.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(16; 0,25), Var(X)=3. ¿Cuál es el valor aproximado de σ?
σ=√3≈1,73.
Respuesta: A) 1,73
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La desviación estándar puede ser un número negativo.
La raíz cuadrada de un valor no negativo nunca es negativa.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si X~B(25; 0,2), Var(X)=4. ¿Cuál es σ?
σ=√4=2.
Respuesta: A) 2
-
Si X~B(36; 0,5), Var(X)=9, entonces σ=3.
36×0,5×0,5=9. σ=√9=3.
Respuesta: Verdadero
-
Si X~B(50; 0,08), Var(X)=3,68. ¿Cuál es el valor aproximado de σ?
σ=√3,68≈1,92.
Respuesta: A) 1,92
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Por qué se usa la desviación estándar en vez de la varianza para interpretar la dispersión de X?
Es la razón práctica de preferir σ para la interpretación de resultados.
Respuesta: A) Porque σ está expresada en las mismas unidades que X, facilitando su interpretación práctica
-
Cuando Var(X) es menor que 1, la desviación estándar σ es mayor que la varianza.
Para valores entre 0 y 1, la raíz cuadrada de un número es mayor que el número mismo.
Respuesta: Verdadero
-
Una encuesta a 200 personas tiene p=0,5 (probabilidad de responder 'sí'). Var(X)=50. ¿Cuál es el valor aproximado de σ?
σ=√50≈7,07.
Respuesta: A) 7,07