Función de probabilidad binomial para calcular P(X = k)
Aplicar la fórmula de la función de probabilidad binomial para calcular la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos.
Introducción
Esta fórmula combina el número de combinaciones posibles de ubicar los éxitos entre los ensayos, con las probabilidades de éxito y fracaso elevadas a las potencias correspondientes.
Explicación
Definición formal
$P(X=k)=C(n,k)\times p^{k}\times q^{n-k}$, para $k=0,1,\ldots,n$, donde $C(n,k)$ cuenta las formas de ubicar los $k$ éxitos entre los $n$ ensayos.
Desarrollo didáctico
Si $X\sim B(5;\,0{,}5)$ (lanzar una moneda 5 veces), la probabilidad de obtener exactamente 3 caras es $P(X=3)=C(5,3)\times0{,}5^3\times0{,}5^2=10\times0{,}125\times0{,}25=0{,}3125$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los valores de n, p, q=1-p y el número exacto de éxitos k que se busca.
- Paso 2: Calcula C(n,k), el número de formas de ubicar los k éxitos entre los n ensayos.
- Paso 3: Multiplica C(n,k) por p elevado a k y por q elevado a (n-k) para obtener P(X=k).
Ejemplos
1 n=5, p=0,5, k=3.
- P(X=3)=C(5,3)×0,5³×0,5²=10×0,125×0,25=0,3125.
2 n=4, p=0,3, k=2.
- q=0,7. P(X=2)=C(4,2)×0,3²×0,7²=6×0,09×0,49=0,2646.
3 ¿La fórmula binomial incluye el término C(n,k)?
- Sí, cuenta las distintas formas de ordenar los k éxitos entre los n ensayos.
4 ¿El exponente de q en la fórmula es (n-k)?
- Sí, representa el número de fracasos, que es igual al total de ensayos menos los éxitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el factor combinatorio C(n,k), calculando solo p^k×q^(n-k)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir los exponentes de p y q, o calcular mal (n-k)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No convertir correctamente p y q a valores decimales antes de aplicar la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función de probabilidad de una variable $X\sim B(n,p)$ es $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$, donde $k$ es el número exacto de éxitos buscado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La función de probabilidad binomial P(X=k) es:
Es la fórmula completa de la función de probabilidad binomial.
Respuesta: A) C(n,k)·p^k·q^(n-k)
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La fórmula binomial incluye el factor combinatorio C(n,k).
Cuenta las formas de ubicar los k éxitos entre los n ensayos.
Respuesta: Verdadero
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Si X~B(4; 0,5), ¿cuál es el valor de P(X=2)?
P(X=2)=C(4,2)×0,5²×0,5²=6×0,25×0,25=0,375.
Respuesta: A) 0,375
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En la fórmula P(X=k)=C(n,k)p^k q^(n-k), q representa la probabilidad de fracaso.
q=1-p es la probabilidad de fracaso.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si X~B(4; 0,2), P(X=0)=C(4,0)×0,2⁰×0,8⁴=0,4096.
C(4,0)=1, 0,2⁰=1, 0,8⁴=0,4096.
Respuesta: Verdadero
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Si X~B(5; 0,4), ¿cuál es el valor de P(X=5)?
P(X=5)=C(5,5)×0,4⁵×0,6⁰=1×0,01024×1=0,01024.
Respuesta: A) 0,01024
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Si X~B(3; 0,5), ¿cuál es el valor de P(X=1)?
P(X=1)=C(3,1)×0,5¹×0,5²=3×0,5×0,25=0,375.
Respuesta: A) 0,375
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La suma de P(X=k) para todos los valores de k desde 0 hasta n siempre es igual a 1.
Es una propiedad general de cualquier función de probabilidad, ya que cubre todos los casos posibles del espacio muestral.
Respuesta: Verdadero
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Un examen de 4 preguntas de verdadero/falso se responde al azar (p=0,5 en cada una). ¿Cuál es la probabilidad de responder correctamente exactamente 2 preguntas?
P(X=2)=C(4,2)×0,5²×0,5²=6×0,25×0,25=0,375.
Respuesta: A) 0,375
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¿Por qué la fórmula binomial incluye el factor C(n,k)?
Es la justificación combinatoria del factor C(n,k) en la fórmula.
Respuesta: A) Porque hay múltiples formas (secuencias distintas) de obtener exactamente k éxitos entre los n ensayos, y todas deben contarse