Propiedad de simetría C(n, r) = C(n, n-r)
Aplicar la propiedad de simetría C(n,r)=C(n,n-r) para simplificar cálculos, eligiendo el valor de r más pequeño y conveniente.
Introducción
Elegir r elementos de un conjunto de n es equivalente a decidir cuáles (n-r) elementos quedan fuera de la selección; esta dualidad da origen a la propiedad de simetría.
Explicación
Definición formal
$C(n,r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}=C(n,n-r)$, ya que la fórmula es simétrica al intercambiar $r$ por $n-r$.
Desarrollo didáctico
$C(8,3)=C(8,5)=56$, ya que elegir 3 elementos de un total de 8 para incluir es exactamente equivalente a elegir los otros 5 elementos para excluir.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los valores de n y r en la combinación que se quiere calcular.
- Paso 2: Calcula (n-r); si este valor es menor que r, usa la propiedad de simetría para simplificar el cálculo.
- Paso 3: Calcula C(n,n-r) en vez de C(n,r) directamente, obteniendo el mismo resultado con menos factores.
Ejemplos
1 C(8,5), usando que C(8,5)=C(8,3).
- C(8,5)=C(8,3)=(8×7×6)/(3×2×1)=336/6=56, más simple que calcular directamente con 5 factores.
2 C(10,7), usando que C(10,7)=C(10,3).
- C(10,7)=C(10,3)=(10×9×8)/(3×2×1)=720/6=120.
3 ¿C(n,r) siempre es igual a C(n,n-r)?
- Sí, es la propiedad de simetría de los coeficientes combinatorios, válida para cualquier n y r.
4 ¿Es conveniente usar la propiedad de simetría cuando r es cercano a n?
- Sí, ya que permite calcular con (n-r) factores en vez de r factores, simplificando el cálculo cuando r es grande.
Ejemplos Verdadero/Falso
"No aprovechar la propiedad de simetría cuando r es grande, complicando innecesariamente el cálculo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular incorrectamente (n-r) al intentar aplicar la propiedad de simetría."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la simetría solo aplica en casos particulares, en vez de reconocerla como una propiedad general válida siempre."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier combinación, se cumple la propiedad de simetría $C(n,r)=C(n,n-r)$, ya que elegir los $r$ elementos seleccionados equivale a elegir los $(n-r)$ elementos no seleccionados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La propiedad de simetría de las combinaciones establece que:
Es la propiedad de simetría de los coeficientes combinatorios.
Respuesta: A) C(n,r)=C(n,n-r)
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C(8,3)=C(8,5).
Ambos son iguales a 56, por la propiedad de simetría.
Respuesta: Verdadero
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Si C(10,3)=120, ¿cuál es el valor de C(10,7)?
C(10,7)=C(10,3)=120, por la propiedad de simetría.
Respuesta: A) 120
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La propiedad de simetría solo se cumple quando r=n/2.
Se cumple siempre, para cualquier valor válido de r, no solo cuando r=n/2.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el valor de C(9,6), usando la propiedad de simetría (C(9,6)=C(9,3))?
C(9,3)=(9×8×7)/(3×2×1)=504/6=84.
Respuesta: A) 84
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C(12,9)=C(12,3)=220.
C(12,3)=(12×11×10)/(3×2×1)=1320/6=220.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el valor de C(11,8), usando la propiedad de simetría?
C(11,8)=C(11,3)=(11×10×9)/(3×2×1)=990/6=165.
Respuesta: A) 165
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué se cumple la propiedad C(n,r)=C(n,n-r)?
Es la justificación conceptual (dualidad incluir/excluir) de esta propiedad.
Respuesta: A) Porque elegir r elementos para incluir es equivalente a elegir (n-r) elementos para excluir del conjunto total
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Esta propiedad de simetría es la razón por la que el Triángulo de Pascal es simétrico respecto de su eje vertical.
Cada fila del triángulo es simétrica precisamente porque C(n,r)=C(n,n-r).
Respuesta: Verdadero
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Para calcular C(20,18) de la forma más eficiente, ¿qué combinación equivalente conviene usar?
C(20,18)=C(20,2)=(20×19)/(2×1)=190, mucho más simple de calcular directamente.
Respuesta: A) C(20,2), aplicando la propiedad de simetría