Interpretación de C(n, r) como coeficiente binomial
Reconocer y utilizar la notación de coeficiente binomial $\binom{n}{r}$ como forma alternativa de representar el número de combinaciones C(n,r).
El coeficiente binomial es la notación matemática estándar (usada también en el desarrollo del binomio de Newton) para representar el número de combinaciones.
Explicación
Definición formal
$\binom{n}{r}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$; ambas notaciones representan exactamente el mismo valor numérico.
Desarrollo didáctico
$\binom{5}{2}=C(5,2)=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{120}{2\times6}=10$. Esta notación aparece frecuentemente en el desarrollo del binomio de Newton, donde los coeficientes de $(a+b)^n$ son precisamente estos números combinatorios.
Procedimiento
- Paso 1: Reconoce que la notación $\binom{n}{r}$ representa exactamente lo mismo que C(n,r).
- Paso 2: Aplica la misma fórmula n!/(r!(n-r)!) para calcular su valor, independientemente de la notación usada.
- Paso 3: Relaciona este concepto con el Triángulo de Pascal, donde estos coeficientes aparecen ordenados por filas.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\binom{5}{2}=C(5,2)=5!/(2!·3!)=120/12=10$.
- $\binom{6}{3}=C(6,3)=6!/(3!·3!)=720/36=20$.
- Sí, son exactamente la misma cantidad, solo con notación distinta.
- Sí, los coeficientes de (a+b)^n son precisamente los coeficientes binomiales $\binom{n}{r}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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El coeficiente binomial $\binom{n}{r}$ se lee 'n sobre r' o 'combinaciones de n en r', y es exactamente igual a $C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El coeficiente binomial (n sobre r) es equivalente a:
Es la misma cantidad, con notación distinta.
Respuesta: A) C(n,r)
-
(5 sobre 2) es igual a 10.
5!/(2!·3!)=120/12=10.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de (6 sobre 3)?
6!/(3!·3!)=720/36=20.
Respuesta: A) 20
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El coeficiente binomial se usa exclusivamente en probabilidad, nunca en álgebra.
También aparece en el desarrollo del binomio de Newton, en álgebra.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el valor de (7 sobre 2)?
7!/(2!·5!)=5040/240=21.
Respuesta: A) 21
-
(4 sobre 4)=1.
4!/(4!·0!)=24/24=1.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de (8 sobre 0)?
8!/(0!·8!)=1, ya que 0!=1.
Respuesta: A) 1
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Por qué el coeficiente binomial recibe ese nombre?
Es el origen histórico y algebraico de su nombre.
Respuesta: A) Porque corresponde a los coeficientes del desarrollo de un binomio elevado a una potencia, como (a+b)^n
-
(n sobre 0) siempre es igual a 1, para cualquier n.
Ya que n!/(0!·n!)=1, pues 0!=1 y los n! se cancelan.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de (10 sobre 5)?
10!/(5!·5!)=3628800/14400=252.
Respuesta: A) 252