Fórmula general para calcular combinaciones C(n, r)
Aplicar la fórmula general de combinaciones para calcular el número de formas de seleccionar r elementos de un total de n, sin importar el orden.
Introducción
La fórmula de combinaciones se obtiene a partir de la de variaciones, dividiendo por r! para eliminar los distintos órdenes posibles de cada selección.
Explicación
Definición formal
$C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$, donde $n$ es el total de elementos disponibles y $r$ es el tamaño de la selección, con $0\leq r\leq n$.
Desarrollo didáctico
Para elegir un comité de 3 personas de un grupo de 5: $C(5,3)=\dfrac{5!}{3!\,2!}=\dfrac{120}{6\times2}=\dfrac{120}{12}=10$ comités distintos posibles.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el total de elementos disponibles (n) y el tamaño de la selección (r).
- Paso 2: Sustituye los valores en la fórmula C(n,r)=n!/(r!(n-r)!).
- Paso 3: Calcula el resultado, simplificando los factoriales cuando sea posible para evitar cálculos innecesarios.
Ejemplos
1 Elegir un comité de 3 personas de un grupo de 5.
- C(5,3)=5!/(3!·2!)=120/12=10 comités distintos.
2 Elegir 2 representantes de un grupo de 6.
- C(6,2)=6!/(2!·4!)=720/48=15.
3 ¿La fórmula de combinaciones divide por r! respecto de la de variaciones?
- Sí, ya que se elimina el conteo de los distintos órdenes posibles de una misma selección.
4 ¿C(n,r) siempre da un número entero?
- Sí, ya que representa un conteo de casos posibles, siempre resulta en un valor entero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar dividir por r!, calculando en realidad una variación en vez de una combinación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir los valores de n y r al sustituir en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores aritméticos al simplificar los factoriales del numerador y denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El número de combinaciones de $n$ elementos distintos tomados de a $r$ es $C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La fórmula de combinaciones C(n,r) es:
Es la fórmula formal de combinaciones.
Respuesta: A) n!/(r!(n-r)!)
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C(5,3)=10.
5!/(3!·2!)=120/12=10.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de C(6,2)?
6!/(2!·4!)=720/48=15.
Respuesta: A) 15
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La fórmula de combinaciones incluye una división por r! respecto de la de variaciones.
Ese r! adicional elimina los distintos órdenes de una misma selección.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es el valor de C(7,2)?
7!/(2!·5!)=5040/240=21.
Respuesta: A) 21
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C(8,3)=56.
8!/(3!·5!)=40320/720=56.
Respuesta: Verdadero
-
Un curso de 10 estudiantes debe elegir un comité de 4 (sin roles). ¿Cuántos comités distintos son posibles?
C(10,4)=10!/(4!·6!)=210.
Respuesta: A) 210
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué se divide por r! en la fórmula de combinaciones respecto de la de variaciones?
Es la justificación combinatoria de la relación C(n,r)=V(n,r)/r!.
Respuesta: A) Porque cada selección de r elementos puede ordenarse de r! formas distintas, que en la variación se contaban como casos separados
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C(n,r) siempre es menor o igual que V(n,r) para los mismos valores de n y r.
Ya que V(n,r)=C(n,r)×r!, y r!≥1.
Respuesta: Verdadero
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Una empresa debe elegir 5 empleados de un total de 15 para un proyecto (sin roles diferenciados). ¿Cuántas selecciones distintas son posibles?
C(15,5)=15!/(5!·10!)=3003.
Respuesta: A) 3003