Cálculo de combinaciones mediante factoriales
Calcular el valor de C(n,r) simplificando los factoriales directamente, sin calcular n! completo cuando no es necesario.
Introducción
Al igual que en las variaciones, es más eficiente simplificar los factoriales antes de multiplicar, especialmente cuando n es grande.
Explicación
Definición formal
$C(n,r)=\dfrac{n\times(n-1)\times\cdots\times(n-r+1)}{r!}$, simplificando el numerador a solo $r$ factores antes de dividir.
Desarrollo didáctico
Para calcular $C(8,3)$: en vez de calcular $8!$ y $3!\times5!$ completos, se simplifica directamente $\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=\dfrac{336}{6}=56$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe el numerador como el producto de los r factores decrecientes desde n (sin calcular n! completo).
- Paso 2: Calcula r! en el denominador.
- Paso 3: Divide el numerador simplificado por r! para obtener el resultado final.
Ejemplos
1 C(8,3).
- (8×7×6)/(3×2×1)=336/6=56.
2 C(9,4).
- (9×8×7×6)/(4×3×2×1)=3024/24=126.
3 ¿Es más eficiente simplificar directamente que calcular n! completo?
- Sí, especialmente cuando n es grande, evita cálculos innecesarios con números muy grandes.
4 ¿El numerador simplificado siempre tiene exactamente r factores?
- Sí, van desde n hasta (n-r+1), es decir, exactamente r números.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular n! completo innecesariamente, en vez de simplificar directamente a r factores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir un número incorrecto de factores en el numerador (más o menos de los r necesarios)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar dividir por r! después de simplificar el numerador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular $C(n,r)$ de forma eficiente, se simplifica $\dfrac{n!}{(n-r)!}$ primero (dejando solo $r$ factores), y luego se divide por $r!$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El numerador simplificado de C(n,r) tiene:
Es la simplificación estándar del numerador.
Respuesta: A) Exactamente r factores decrecientes desde n
-
C(8,3) se puede calcular como (8×7×6)/(3×2×1).
Es la forma simplificada de calcular esta combinación.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de C(9,4) calculado de forma eficiente?
(9×8×7×6)/(4×3×2×1)=3024/24=126.
Respuesta: A) 126
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Es obligatorio calcular n! completo para hallar C(n,r).
Se puede simplificar directamente, sin calcular n! completo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el valor de C(10,2)?
(10×9)/(2×1)=90/2=45.
Respuesta: A) 45
-
C(12,3)=220.
(12×11×10)/(3×2×1)=1320/6=220.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de C(11,3)?
(11×10×9)/(3×2×1)=990/6=165.
Respuesta: A) 165
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Por qué esta técnica de simplificación es especialmente importante cuando n es grande (por ejemplo, n=50)?
Es la ventaja práctica central de esta técnica.
Respuesta: A) Porque calcular 50! completo es computacionalmente muy costoso, mientras que simplificar directamente evita ese cálculo innecesario
-
Esta técnica de simplificación da exactamente el mismo resultado que calcular n!/(r!(n-r)!) completo.
Son formas equivalentes de la misma fórmula, solo que una es más eficiente de calcular.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de C(20,2), calculado de forma eficiente?
(20×19)/(2×1)=380/2=190.
Respuesta: A) 190