Resolución de problemas de probabilidad total mediante diagrama de árbol
Resolver un problema de probabilidad total representando la partición y las probabilidades condicionales mediante un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol ofrece una representación visual clara del teorema de la probabilidad total: cada rama del primer nivel es una parte de la partición, y la probabilidad total se obtiene sumando las rutas.
Explicación
Definición formal
Cada ruta completa del árbol representa $P(B_i)\times P(A|B_i)$; sumando todas las rutas que terminan en el evento $A$, se obtiene $P(A)$ por el teorema de la probabilidad total.
Desarrollo didáctico
Se elige al azar una de tres urnas (cada una con probabilidad 1/3), con proporciones de bolitas rojas 0,5, 0,3 y 0,7 respectivamente. La probabilidad de sacar una bolita roja es $P(\text{roja})=(1/3)(0{,}5)+(1/3)(0{,}3)+(1/3)(0{,}7)=0{,}5$.
Procedimiento
- Paso 1: Dibuja el primer nivel del árbol con las partes de la partición y sus probabilidades.
- Paso 2: Dibuja el segundo nivel con las probabilidades condicionales del evento de interés para cada rama.
- Paso 3: Multiplica cada ruta y suma todas las rutas que llevan al evento de interés para obtener la probabilidad total.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- P(roja)=(1/3)(0,5)+(1/3)(0,3)+(1/3)(0,7)=(0,5+0,3+0,7)/3=0,5.
- P(defectuosa)=0,6×0,05+0,4×0,1=0,03+0,04=0,07, sumando ambas rutas del árbol.
- Sí, es su principal ventaja como herramienta de representación.
- Sí, son exactamente el mismo cálculo, solo representado de forma distinta.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver un problema de probabilidad total con un árbol, se construyen las ramas del primer nivel (partición) con sus probabilidades, las ramas del segundo nivel (evento condicionado) con las probabilidades condicionales, y se suman las probabilidades de las rutas que llevan al evento de interés.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En el diagrama de árbol para probabilidad total, el primer nivel representa:
Es la interpretación del primer nivel del árbol en este contexto.
Respuesta: A) La partición del espacio muestral
-
La probabilidad total se obtiene sumando las rutas que llevan al evento de interés.
Es el método de cálculo mediante árbol.
Respuesta: Verdadero
-
Con 3 urnas equiprobables y proporciones de rojas 0,5, 0,3 y 0,7, ¿cuál es P(roja)?
(1/3)(0,5+0,3+0,7)=(1/3)(1,5)=0,5.
Respuesta: A) 0,5
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El árbol y la fórmula algebraica dan resultados distintos para la probabilidad total.
Son equivalentes, dan exactamente el mismo resultado.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con P(A)=0,6, P(B)=0,4, P(evento|A)=0,05, P(evento|B)=0,1, ¿cuál es P(evento) usando el árbol?
0,6×0,05+0,4×0,1=0,07, sumando ambas rutas.
Respuesta: A) 0,07
-
Con 2 urnas equiprobables (0,5 cada una) y proporciones de azules 0,4 y 0,6, P(azul)=0,5.
0,5×0,4+0,5×0,6=0,2+0,3=0,5.
Respuesta: Verdadero
-
Con 3 proveedores (0,5, 0,3, 0,2) y tasas de defecto (0,02, 0,04, 0,06), ¿cuál es P(defectuosa)?
0,5×0,02+0,3×0,04+0,2×0,06=0,01+0,012+0,012=0,034.
Respuesta: A) 0,034
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es la ventaja del árbol frente a la fórmula algebraica directa en problemas con muchas categorías?
Es su ventaja práctica como herramienta de organización visual.
Respuesta: A) Permite visualizar sistemáticamente todas las rutas, reduciendo el riesgo de omitir alguna
-
El árbol usado para resolver la probabilidad total es el mismo tipo de árbol usado previamente en experimentos compuestos con dependencia.
Es la misma estructura visual, aplicada ahora específicamente al cálculo de una probabilidad total.
Respuesta: Verdadero
-
Una tienda vende productos de 3 marcas (40%, 35%, 25% del stock) con tasas de devolución (5%, 3%, 8%). ¿Cuál es la probabilidad total de devolución, usando el árbol?
0,4×0,05+0,35×0,03+0,25×0,08=0,02+0,0105+0,02=0,0505.
Respuesta: A) 0,0505