Resolución de problemas de probabilidad total mediante diagrama de árbol
Resolver un problema de probabilidad total representando la partición y las probabilidades condicionales mediante un diagrama de árbol.
Introducción
El diagrama de árbol ofrece una representación visual clara del teorema de la probabilidad total: cada rama del primer nivel es una parte de la partición, y la probabilidad total se obtiene sumando las rutas.
Explicación
Definición formal
Cada ruta completa del árbol representa $P(B_i)\times P(A|B_i)$; sumando todas las rutas que terminan en el evento $A$, se obtiene $P(A)$ por el teorema de la probabilidad total.
Desarrollo didáctico
Se elige al azar una de tres urnas (cada una con probabilidad 1/3), con proporciones de bolitas rojas 0,5, 0,3 y 0,7 respectivamente. La probabilidad de sacar una bolita roja es $P(\text{roja})=(1/3)(0{,}5)+(1/3)(0{,}3)+(1/3)(0{,}7)=0{,}5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dibuja el primer nivel del árbol con las partes de la partición y sus probabilidades.
- Paso 2: Dibuja el segundo nivel con las probabilidades condicionales del evento de interés para cada rama.
- Paso 3: Multiplica cada ruta y suma todas las rutas que llevan al evento de interés para obtener la probabilidad total.
Ejemplos
1 3 urnas (1/3 cada una), proporciones de rojas 0,5, 0,3 y 0,7.
- P(roja)=(1/3)(0,5)+(1/3)(0,3)+(1/3)(0,7)=(0,5+0,3+0,7)/3=0,5.
2 P(A)=0,6, P(B)=0,4, P(defectuosa|A)=0,05, P(defectuosa|B)=0,1.
- P(defectuosa)=0,6×0,05+0,4×0,1=0,03+0,04=0,07, sumando ambas rutas del árbol.
3 ¿El árbol facilita visualizar todas las rutas que se deben sumar?
- Sí, es su principal ventaja como herramienta de representación.
4 ¿El resultado obtenido con el árbol coincide con el de la fórmula algebraica?
- Sí, son exactamente el mismo cálculo, solo representado de forma distinta.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar dibujar o considerar alguna rama del primer nivel, omitiendo una parte de la partición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las probabilidades del primer nivel con las condicionales del segundo nivel al construir el árbol."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No sumar todas las rutas relevantes que llevan al evento de interés al final del cálculo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver un problema de probabilidad total con un árbol, se construyen las ramas del primer nivel (partición) con sus probabilidades, las ramas del segundo nivel (evento condicionado) con las probabilidades condicionales, y se suman las probabilidades de las rutas que llevan al evento de interés.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En el diagrama de árbol para probabilidad total, el primer nivel representa:
Es la interpretación del primer nivel del árbol en este contexto.
Respuesta: A) La partición del espacio muestral
-
La probabilidad total se obtiene sumando las rutas que llevan al evento de interés.
Es el método de cálculo mediante árbol.
Respuesta: Verdadero
-
Con 3 urnas equiprobables y proporciones de rojas 0,5, 0,3 y 0,7, ¿cuál es P(roja)?
(1/3)(0,5+0,3+0,7)=(1/3)(1,5)=0,5.
Respuesta: A) 0,5
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El árbol y la fórmula algebraica dan resultados distintos para la probabilidad total.
Son equivalentes, dan exactamente el mismo resultado.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con P(A)=0,6, P(B)=0,4, P(evento|A)=0,05, P(evento|B)=0,1, ¿cuál es P(evento) usando el árbol?
0,6×0,05+0,4×0,1=0,07, sumando ambas rutas.
Respuesta: A) 0,07
-
Con 2 urnas equiprobables (0,5 cada una) y proporciones de azules 0,4 y 0,6, P(azul)=0,5.
0,5×0,4+0,5×0,6=0,2+0,3=0,5.
Respuesta: Verdadero
-
Con 3 proveedores (0,5, 0,3, 0,2) y tasas de defecto (0,02, 0,04, 0,06), ¿cuál es P(defectuosa)?
0,5×0,02+0,3×0,04+0,2×0,06=0,01+0,012+0,012=0,034.
Respuesta: A) 0,034
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es la ventaja del árbol frente a la fórmula algebraica directa en problemas con muchas categorías?
Es su ventaja práctica como herramienta de organización visual.
Respuesta: A) Permite visualizar sistemáticamente todas las rutas, reduciendo el riesgo de omitir alguna
-
El árbol usado para resolver la probabilidad total es el mismo tipo de árbol usado previamente en experimentos compuestos con dependencia.
Es la misma estructura visual, aplicada ahora específicamente al cálculo de una probabilidad total.
Respuesta: Verdadero
-
Una tienda vende productos de 3 marcas (40%, 35%, 25% del stock) con tasas de devolución (5%, 3%, 8%). ¿Cuál es la probabilidad total de devolución, usando el árbol?
0,4×0,05+0,35×0,03+0,25×0,08=0,02+0,0105+0,02=0,0505.
Respuesta: A) 0,0505