Enunciado del teorema de la probabilidad total
Enunciar formalmente el teorema de la probabilidad total, que permite calcular la probabilidad de un evento a partir de una partición del espacio muestral.
Introducción
Cuando un evento puede ocurrir a través de distintas 'vías' (representadas por una partición), existe una fórmula precisa que combina las probabilidades de cada vía y las probabilidades condicionales correspondientes.
Explicación
Definición formal
$P(A)=P(B_1)\times P(A|B_1)+P(B_2)\times P(A|B_2)+\cdots+P(B_n)\times P(A|B_n)$, sumando sobre todas las partes de la partición.
Desarrollo didáctico
Si una fábrica tiene dos máquinas (P(A)=0,6, P(B)=0,4) con tasas de defecto 0,05 y 0,1 respectivamente, la probabilidad total de que una pieza sea defectuosa es $P(\text{defectuosa})=0{,}6\times0{,}05+0{,}4\times0{,}1=0{,}03+0{,}04=0{,}07$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la partición del espacio muestral (B1, B2, ..., Bn) y sus probabilidades.
- Paso 2: Identifica las probabilidades condicionales P(A|Bi) para cada parte de la partición.
- Paso 3: Aplica la fórmula sumando el producto P(Bi)×P(A|Bi) para todas las partes de la partición.
Ejemplos
1 P(A)=0,6, P(B)=0,4, P(defectuosa|A)=0,05, P(defectuosa|B)=0,1.
- P(defectuosa)=0,6×0,05+0,4×0,1=0,03+0,04=0,07.
2 3 urnas, cada una con probabilidad 1/3, con P(roja|urna1)=0,5, P(roja|urna2)=0,3, P(roja|urna3)=0,7.
- P(roja)=(1/3)(0,5)+(1/3)(0,3)+(1/3)(0,7)=(0,5+0,3+0,7)/3=1,5/3=0,5.
3 ¿Este teorema requiere una partición válida del espacio muestral?
- Sí, es la condición fundamental para que la fórmula sea válida.
4 ¿Se pueden sumar más de dos términos en esta fórmula?
- Sí, la fórmula se extiende a cualquier número de partes de la partición.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar la fórmula sin verificar que los eventos Bi realmente formen una partición válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sumar todos los términos correspondientes a cada parte de la partición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir P(Bi) con P(A|Bi) al sustituir los valores en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El teorema de la probabilidad total establece que, si $B_1, B_2, \ldots, B_n$ forman una partición del espacio muestral, entonces $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)\times P(A|B_i)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si P(A)=0,6, P(B)=0,4, P(D|A)=0,05, P(D|B)=0,1, ¿cuál es P(D)?
0,6×0,05+0,4×0,1=0,03+0,04=0,07.
Respuesta: A) 0,07
-
El teorema de la probabilidad total establece que P(A) es:
Es el enunciado formal del teorema.
Respuesta: A) La suma de P(Bi)×P(A|Bi) sobre toda la partición
-
Este teorema requiere que los eventos Bi formen una partición válida del espacio muestral.
Es la condición necesaria para aplicar el teorema.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Este teorema solo se puede aplicar con exactamente 2 eventos en la partición.
Se puede extender a cualquier número de partes de la partición.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si P(A)=0,5, P(B)=0,5, P(D|A)=0,2, P(D|B)=0,4, entonces P(D)=0,3.
0,5×0,2+0,5×0,4=0,1+0,2=0,3.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(X)=0,7, P(Y)=0,3, P(D|X)=0,02, P(D|Y)=0,08, ¿cuál es P(D)?
0,7×0,02+0,3×0,08=0,014+0,024=0,038.
Respuesta: A) 0,038
-
Con 3 urnas equiprobables (1/3 cada una) y P(roja|urna1)=0,4, P(roja|urna2)=0,5, P(roja|urna3)=0,6, ¿cuál es P(roja)?
(1/3)(0,4+0,5+0,6)=(1/3)(1,5)=0,5.
Respuesta: A) 0,5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Este teorema es matemáticamente equivalente a sumar las probabilidades de todas las rutas de un árbol que llevan al evento de interés.
Es la misma idea vista anteriormente en el contexto de árboles de probabilidad.
Respuesta: Verdadero
-
Un hospital recibe pacientes de 2 clínicas: X (P=0,6, tasa de complicación 0,03) e Y (P=0,4, tasa de complicación 0,05). ¿Cuál es la probabilidad total de complicación?
0,6×0,03+0,4×0,05=0,018+0,02=0,038.
Respuesta: A) 0,038
-
¿Por qué el teorema de la probabilidad total es especialmente útil cuando un evento puede originarse de múltiples fuentes?
Es su utilidad conceptual central.
Respuesta: A) Porque permite combinar correctamente las probabilidades de cada fuente con sus tasas condicionales específicas