Aplicación de la regla de Bayes usando diagrama de árbol
Resolver un problema completo de la regla de Bayes usando un diagrama de árbol, calculando la ruta específica y la suma de todas las rutas.
Introducción
El diagrama de árbol facilita mucho la resolución de problemas de Bayes: la ruta específica del evento buscado es el numerador, y la suma de todas las rutas hacia el evento observado es el denominador.
Explicación
Definición formal
En el árbol, el numerador es la probabilidad de la ruta $B_i\to A$ específica, y el denominador es la suma de las probabilidades de todas las rutas que terminan en $A$ (sin importar de qué $B_j$ provienen).
Desarrollo didáctico
En el árbol de las dos máquinas: la ruta 'máquina A y defectuosa' tiene probabilidad 0,03; la suma de todas las rutas que terminan en 'defectuosa' es 0,07. Entonces $P(A|\text{defectuosa})=\dfrac{0{,}03}{0{,}07}\approx0{,}43$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Construye el árbol completo con las probabilidades del primer nivel (partición) y del segundo nivel (evento condicionado).
- Paso 2: Calcula la probabilidad de la ruta específica de interés (numerador) y la suma de todas las rutas que llegan al evento observado (denominador).
- Paso 3: Divide la ruta específica por esa suma total para obtener la probabilidad a posteriori buscada.
Ejemplos
1 P(A y defectuosa)=0,03, suma total de rutas a 'defectuosa'=0,07.
- P(A|defectuosa)=0,03/0,07≈0,43.
2 P(urna2 y roja)=0,1, suma total de rutas a 'roja'=0,5.
- P(urna2|roja)=0,1/0,5=0,2.
3 ¿El numerador de este cálculo es la probabilidad de una sola ruta del árbol?
- Sí, específicamente la ruta que pasa por el Bi de interés.
4 ¿El denominador es la suma de todas las rutas que llegan al mismo evento final?
- Sí, es exactamente la probabilidad total del evento observado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar como denominador solo una parte de las rutas, en vez de la suma completa de todas ellas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuál ruta específica corresponde al numerador buscado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar construir completamente el árbol antes de intentar leer las probabilidades necesarias."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Usando un árbol, $P(B_i|A)$ se calcula como la probabilidad de la ruta específica que pasa por $B_i$ y llega a $A$, dividida por la suma de las probabilidades de todas las rutas que llegan a $A$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El denominador es la suma de todas las rutas que llegan al mismo evento observado.
Es la probabilidad total de ese evento.
Respuesta: Verdadero
-
Si la ruta 'máquina A y defectuosa'=0,03 y la suma total de rutas a 'defectuosa'=0,07, ¿cuál es P(A|defectuosa)?
0,03/0,07=3/7≈0,43.
Respuesta: A) 3/7
-
En el árbol, el numerador de la regla de Bayes corresponde a:
Es la interpretación del numerador en el contexto del árbol.
Respuesta: A) La probabilidad de la ruta específica de interés
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El numerador y el denominador de este cálculo usan la misma ruta específica.
El numerador es una ruta específica; el denominador es la suma de todas las rutas relevantes.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Con ruta 'urna2 y roja'=0,1 y suma total de rutas a 'roja'=0,5, ¿cuál es P(urna2|roja)?
0,1/0,5=0,2.
Respuesta: A) 0,2
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Con ruta 'máquina B y defectuosa'=0,04 y denominador 0,07, P(B|defectuosa)=4/7.
0,04/0,07=4/7.
Respuesta: Verdadero
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Con 3 rutas a 'defectuosa' (0,008, 0,0105, 0,0125, sumando 0,031), ¿cuál es P(turno1|defectuosa) si la ruta de turno1 es 0,008?
0,008/0,031=8/31≈0,258.
Respuesta: A) 8/31
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Este método con árbol da exactamente el mismo resultado que aplicar la fórmula algebraica de Bayes.
Son representaciones equivalentes del mismo cálculo matemático.
Respuesta: Verdadero
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Con ruta 'proveedor Y y defectuosa'=0,024 y suma total de rutas a 'defectuosa'=0,045, ¿cuál es P(proveedor Y|defectuosa)?
0,024/0,045=8/15≈0,533.
Respuesta: A) 8/15
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¿Cuál es la ventaja de usar el árbol para aplicar la regla de Bayes en vez de solo la fórmula algebraica?
Es su ventaja práctica como herramienta visual de organización.
Respuesta: A) Facilita visualizar tanto el numerador (ruta específica) como el denominador (suma de rutas) de forma organizada