Aplicación de la regla de Bayes usando diagrama de árbol

M2 — PAES electiva Avanzada
Objetivo

Resolver un problema completo de la regla de Bayes usando un diagrama de árbol, calculando la ruta específica y la suma de todas las rutas.

El diagrama de árbol facilita mucho la resolución de problemas de Bayes: la ruta específica del evento buscado es el numerador, y la suma de todas las rutas hacia el evento observado es el denominador.

Explicación

Aplicación de la regla de Bayes usando diagrama de árbol

Definición formal

En el árbol, el numerador es la probabilidad de la ruta $B_i\to A$ específica, y el denominador es la suma de las probabilidades de todas las rutas que terminan en $A$ (sin importar de qué $B_j$ provienen).

Desarrollo didáctico

En el árbol de las dos máquinas: la ruta 'máquina A y defectuosa' tiene probabilidad 0,03; la suma de todas las rutas que terminan en 'defectuosa' es 0,07. Entonces $P(A|\text{defectuosa})=\dfrac{0{,}03}{0{,}07}\approx0{,}43$.

Procedimiento

  • Paso 1: Construye el árbol completo con las probabilidades del primer nivel (partición) y del segundo nivel (evento condicionado).
  • Paso 2: Calcula la probabilidad de la ruta específica de interés (numerador) y la suma de todas las rutas que llegan al evento observado (denominador).
  • Paso 3: Divide la ruta específica por esa suma total para obtener la probabilidad a posteriori buscada.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 P(A y defectuosa)=0,03, suma total de rutas a 'defectuosa'=0,07.
2 P(urna2 y roja)=0,1, suma total de rutas a 'roja'=0,5.
3 ¿El numerador de este cálculo es la probabilidad de una sola ruta del árbol?
4 ¿El denominador es la suma de todas las rutas que llegan al mismo evento final?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Omitir construir completamente el árbol antes de intentar leer las probabilidades necesarias."
"Declarar cuál ruta específica corresponde al numerador buscado."
"Usar como denominador solo una parte de las rutas, en vez de la suma completa de todas ellas."
Fuente: Elaboración propia (referencia: Moraleja 294).
Resumen

Usando un árbol, $P(B_i|A)$ se calcula como la probabilidad de la ruta específica que pasa por $B_i$ y llega a $A$, dividida por la suma de las probabilidades de todas las rutas que llegan a $A$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El denominador es la suma de todas las rutas que llegan al mismo evento observado.

  2. Si la ruta 'máquina A y defectuosa'=0,03 y la suma total de rutas a 'defectuosa'=0,07, ¿cuál es P(A|defectuosa)?

  3. En el árbol, el numerador de la regla de Bayes corresponde a:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El numerador y el denominador de este cálculo usan la misma ruta específica.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Con ruta 'urna2 y roja'=0,1 y suma total de rutas a 'roja'=0,5, ¿cuál es P(urna2|roja)?

  2. Con ruta 'máquina B y defectuosa'=0,04 y denominador 0,07, P(B|defectuosa)=4/7.

  3. Con 3 rutas a 'defectuosa' (0,008, 0,0105, 0,0125, sumando 0,031), ¿cuál es P(turno1|defectuosa) si la ruta de turno1 es 0,008?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Este método con árbol da exactamente el mismo resultado que aplicar la fórmula algebraica de Bayes.

  2. Con ruta 'proveedor Y y defectuosa'=0,024 y suma total de rutas a 'defectuosa'=0,045, ¿cuál es P(proveedor Y|defectuosa)?

  3. ¿Cuál es la ventaja de usar el árbol para aplicar la regla de Bayes en vez de solo la fórmula algebraica?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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