Suma de rutas del árbol que conducen a un mismo evento
Calcular la probabilidad total de un evento que puede alcanzarse por más de un camino del árbol, sumando las probabilidades de todos esos caminos.
Introducción
Cuando un mismo resultado final (por ejemplo, 'pieza defectuosa') puede llegar por distintas rutas del árbol (desde distintas ramas del primer nivel), se debe sumar la probabilidad de todas esas rutas.
Explicación
Definición formal
Si el evento $A$ puede ocurrir a través de las rutas que pasan por $B_1$ o por $B_2$ (mutuamente excluyentes), $P(A)=P(B_1\cap A)+P(B_2\cap A)$.
Desarrollo didáctico
Una pieza puede ser defectuosa proviniendo de la máquina A (probabilidad de esa ruta: 0,03) o de la máquina B (probabilidad de esa ruta: 0,04). La probabilidad total de que una pieza cualquiera sea defectuosa es $0{,}03+0{,}04=0{,}07$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica todos los caminos del árbol que terminan en el evento de interés.
- Paso 2: Calcula la probabilidad de cada uno de esos caminos (multiplicando sus ramas).
- Paso 3: Suma las probabilidades de todos esos caminos para obtener la probabilidad total del evento.
Ejemplos
1 P(A y defectuosa)=0,03, P(B y defectuosa)=0,04.
- P(defectuosa)=0,03+0,04=0,07.
2 P(A y buena)=0,57, P(B y buena)=0,36.
- P(buena)=0,57+0,36=0,93.
3 ¿Se deben sumar todas las rutas que llevan al mismo evento final?
- Sí, es la regla para calcular la probabilidad total de un evento con múltiples caminos posibles.
4 ¿P(defectuosa)+P(buena) debe sumar 1?
- Sí, ya que representan todos los resultados posibles del espacio muestral completo (0,07+0,93=1).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Considerar solo una de las rutas posibles, ignorando las otras que también llevan al mismo evento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar las probabilidades de distintas rutas en vez de sumarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuáles caminos del árbol realmente terminan en el evento de interés."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si un evento puede ocurrir a través de varios caminos distintos y mutuamente excluyentes del árbol, su probabilidad total es la suma de las probabilidades de todos esos caminos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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P(defectuosa)=0,03+0,04=0,07 en el ejemplo de las dos máquinas.
Es la suma de ambas rutas que llevan a 'defectuosa'.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se suman (y no se multiplican) las probabilidades de las distintas rutas?
Es la justificación de aplicar la regla de la suma en este contexto.
Respuesta: A) Porque las rutas son mutuamente excluyentes entre sí (una pieza viene de A o de B, no de ambas)
-
Si un evento se puede alcanzar por dos rutas distintas del árbol, su probabilidad total se calcula:
Es la regla de suma de rutas mutuamente excluyentes.
Respuesta: A) Sumando las probabilidades de ambas rutas
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Basta con considerar una sola ruta para calcular la probabilidad total de un evento con varios caminos posibles.
Se deben considerar y sumar todas las rutas relevantes.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si P(A y buena)=0,57 y P(B y buena)=0,36, ¿cuál es P(buena)?
0,57+0,36=0,93.
Respuesta: A) 0,93
-
P(defectuosa)+P(buena) debe sumar exactamente 1.
Representan todos los resultados posibles.
Respuesta: Verdadero
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Un producto viene de 3 proveedores con probabilidades de defecto conjuntas: 0,01, 0,02 y 0,015. ¿Cuál es la probabilidad total de que sea defectuoso?
0,01+0,02+0,015=0,045.
Respuesta: A) 0,045
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Esta técnica de suma de rutas requiere que las distintas rutas consideradas sean mutuamente excluyentes entre sí.
Es la condición necesaria para poder sumar sin doble conteo.
Respuesta: Verdadero
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Un hospital recibe pacientes de 2 clínicas: Clínica X (P(clínica X y complicación)=0,015) y Clínica Y (P(clínica Y y complicación)=0,025). ¿Cuál es la probabilidad total de complicación?
0,015+0,025=0,04.
Respuesta: A) 0,04
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¿Cuál es la relación entre esta suma de rutas y el teorema de la probabilidad total?
Es la conexión directa con el contenido del siguiente tema del bloque.
Respuesta: A) Es exactamente el mismo principio: sumar las probabilidades conjuntas de una partición del espacio muestral