Cálculo de probabilidades en ramas sucesivas del diagrama de árbol
Calcular la probabilidad de un camino completo en un diagrama de árbol condicional, multiplicando las probabilidades de cada rama a lo largo de ese camino.
Introducción
Al igual que en árboles con eventos independientes, la probabilidad de un camino completo se obtiene multiplicando, pero ahora usando probabilidades condicionadas específicas.
Explicación
Definición formal
Si el camino pasa por la rama $B_i$ (probabilidad $P(B_i)$) y luego por la rama $A$ condicionada (probabilidad $P(A|B_i)$), la probabilidad del camino completo es $P(B_i)\times P(A|B_i)=P(A\cap B_i)$.
Desarrollo didáctico
En el ejemplo de las dos máquinas: la probabilidad de que una pieza provenga de la máquina A y sea defectuosa es $P(\text{A y defectuosa})=0{,}6\times0{,}05=0{,}03$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el camino completo de interés en el árbol (una secuencia específica de ramas).
- Paso 2: Multiplica la probabilidad de la rama del primer nivel por la probabilidad condicional de la rama del segundo nivel.
- Paso 3: Ese producto es la probabilidad de ese camino completo (una probabilidad conjunta).
Ejemplos
1 P(A)=0,6, P(defectuosa|A)=0,05.
- P(A y defectuosa)=0,6×0,05=0,03.
2 P(B)=0,4, P(buena|B)=0,9.
- P(B y buena)=0,4×0,9=0,36.
3 ¿La probabilidad de un camino completo es siempre el producto de sus ramas?
- Sí, es la regla básica de cálculo en cualquier diagrama de árbol.
4 ¿El resultado de este producto es una probabilidad conjunta (intersección)?
- Sí, representa exactamente P(evento del primer nivel y evento del segundo nivel).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar las probabilidades de las ramas en vez de multiplicarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar la probabilidad condicional equivocada (de la rama incorrecta del primer nivel) al calcular el producto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la probabilidad de un solo camino con la probabilidad total del evento de interés (que puede requerir sumar varios caminos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La probabilidad de un camino completo en un árbol condicional es el producto de la probabilidad del primer nivel por la probabilidad condicional del segundo nivel correspondiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La probabilidad de un camino completo en el árbol se calcula:
Es la regla del producto en diagramas de árbol.
Respuesta: A) Multiplicando las probabilidades de sus ramas
-
P(A y defectuosa)=0,6×0,05=0,03.
Es el producto de la rama del primer nivel por la condicional del segundo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué representa el resultado de multiplicar las ramas de un camino completo?
Es el tipo de probabilidad que resulta de este cálculo.
Respuesta: A) Una probabilidad conjunta (intersección)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Las probabilidades de las ramas de un camino se suman para calcular la probabilidad del camino completo.
Se multiplican, no se suman.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si P(B)=0,4 y P(buena|B)=0,9, ¿cuál es P(B y buena)?
0,4×0,9=0,36.
Respuesta: A) 0,36
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Si P(A)=0,6 y P(buena|A)=0,95, P(A y buena)=0,57.
0,6×0,95=0,57.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(B)=0,4 y P(defectuosa|B)=0,1, ¿cuál es P(B y defectuosa)?
0,4×0,1=0,04.
Respuesta: A) 0,04
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En el ejemplo de las dos máquinas, la suma de las cuatro probabilidades de los caminos completos (A-defectuosa, A-buena, B-defectuosa, B-buena) debe ser igual a 1.
0,03+0,57+0,04+0,36=1, confirmando la consistencia del árbol.
Respuesta: Verdadero
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Un proveedor X representa el 70% del stock, con 3% de piezas defectuosas. ¿Cuál es P(proveedor X y defectuosa)?
0,7×0,03=0,021.
Respuesta: A) 0,021
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¿Por qué la suma de todas las probabilidades de los caminos completos de un árbol debe dar 1?
Es una propiedad de consistencia que se debe verificar siempre.
Respuesta: A) Porque representan todos los resultados posibles del espacio muestral completo