Resolución de probabilidades en extracciones sin reposición mediante conteo secuencial

M1 — PAES obligatoria Avanzada
Objetivo

Resolver problemas de probabilidad con extracciones sucesivas sin reposición, ajustando el número de casos favorables y totales en cada extracción.

Introducción

Cuando se extraen varios objetos sin devolverlos, cada extracción cambia las condiciones de la siguiente, por lo que se debe recalcular la probabilidad en cada paso.

Explicación

Extracción sin reposición

Definición formal

Si se extraen sucesivamente sin reposición, la probabilidad de una secuencia específica es el producto de las probabilidades condicionales en cada paso, donde el denominador disminuye en 1 en cada extracción (y el numerador según lo ya extraído).

Desarrollo didáctico

En una urna con 5 bolitas rojas y 5 azules, la probabilidad de extraer dos rojas seguidas sin reposición es $P(R,R)=\dfrac{5}{10}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{9}$: tras la primera extracción, quedan 9 bolitas en total y solo 4 rojas.

Cómo hacerlo paso a paso

  • Paso 1: Calcula la probabilidad de la primera extracción con las condiciones iniciales.
  • Paso 2: Ajusta el numerador (casos favorables) y el denominador (casos totales) según lo extraído, y calcula la probabilidad de la segunda extracción.
  • Paso 3: Multiplica las probabilidades de todas las extracciones sucesivas para obtener la probabilidad de la secuencia completa.

Ejemplos

1 Urna con 5 rojas y 5 azules.
2 Mazo de 52 cartas, 4 ases.
3 ¿El denominador disminuye en cada extracción sin reposición?
4 ¿El numerador también puede cambiar según el resultado de la extracción anterior?

Ejemplos Verdadero/Falso

"Olvidar disminuir el total de objetos disponibles en cada extracción sucesiva."

¿Es correcta esta afirmación?

"Aplicar el mismo cálculo que en extracciones con reposición, ignorando el cambio de condiciones."

¿Es correcta esta afirmación?

"Confundir cuál conteo (numerador o denominador) debe ajustarse según el resultado extraído previamente."

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Elaboración propia (referencia: Moraleja 410).
Resumen

En una extracción sin reposición, la probabilidad de una secuencia de resultados se calcula multiplicando las probabilidades de cada extracción, ajustando los casos favorables y totales según lo ya extraído.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En una urna con 5 rojas y 5 azules, P(dos rojas sin reposición)=5/10×4/9.

  2. ¿Qué ajuste se debe hacer al numerador si el objeto extraído es del mismo tipo que se busca de nuevo?

  3. En una extracción sin reposición, el denominador de la segunda extracción:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. En extracciones sin reposición, todas las probabilidades sucesivas son iguales a la primera.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. En un mazo de 52 cartas, ¿cuál es P(dos ases seguidos) sin reposición?

  2. En una urna con 8 bolitas (3 rojas, 5 azules), P(azul, azul sin reposición)=5/8×4/7.

  3. En una urna con 4 rojas y 6 azules, ¿cuál es P(roja, roja) sin reposición?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Por qué el conteo secuencial en extracciones sin reposición requiere recalcular la probabilidad en cada paso?

  2. Al calcular la probabilidad de una secuencia de 3 extracciones sin reposición, se deben ajustar tanto el numerador como el denominador hasta 2 veces (después de la primera y la segunda extracción).

  3. En una urna con 6 bolitas rojas y 4 azules, se extraen 2 bolitas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean azules?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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