Regla aditiva general para eventos con intersección
Aplicar la regla aditiva general para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos que sí comparten elementos, restando la probabilidad de su intersección para no contarla dos veces.
Introducción
Cuando dos eventos comparten algunos resultados, sumar directamente sus probabilidades contaría esos elementos comunes dos veces, por lo que se debe restar la probabilidad de la intersección.
Explicación
Definición formal
Como los elementos de $A\cap B$ se cuentan tanto en $n(A)$ como en $n(B)$, se deben restar una vez para no duplicarlos: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$, de donde $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Desarrollo didáctico
Al lanzar un dado, si $A$='número par' ($P(A)=3/6$) y $B$='número mayor que 3' ($P(B)=3/6$), su intersección es $\{4,6\}$ ($P(A\cap B)=2/6$). Entonces $P(A\cup B)=3/6+3/6-2/6=4/6$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula P(A) y P(B) por separado.
- Paso 2: Calcula la probabilidad de la intersección P(A∩B).
- Paso 3: Aplica la fórmula P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
Ejemplos
1 A='par' (P=3/6), B='mayor que 3' (P=3/6), A∩B={4,6} (P=2/6).
- P(A∪B)=3/6+3/6-2/6=4/6=2/3.
2 A='rey' (P=4/52), B='corazón' (P=13/52), A∩B='rey de corazones' (P=1/52).
- P(A∪B)=4/52+13/52-1/52=16/52.
3 ¿Se debe restar P(A∩B) si los eventos comparten elementos?
- Sí, de lo contrario se contarían dos veces los elementos comunes.
4 ¿Esta fórmula también funciona cuando los eventos son excluyentes?
- Sí, en ese caso P(A∩B)=0, y la fórmula se reduce a la regla de la suma simple.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar la probabilidad de la intersección, sobreestimando la probabilidad de la unión."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular incorrectamente P(A∩B), afectando el resultado final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la regla de la suma simple (sin restar la intersección) cuando los eventos no son excluyentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier par de eventos $A$ y $B$, la probabilidad de su unión es $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué ocurre con esta fórmula si A y B son mutuamente excluyentes?
Es un caso particular de la regla general.
Respuesta: A) Se reduce a P(A)+P(B), ya que P(A∩B)=0
-
La regla aditiva general establece que P(A∪B) es:
Es la fórmula general de la unión de eventos.
Respuesta: A) P(A)+P(B)-P(A∩B)
-
Esta regla se aplica cuando los eventos A y B comparten elementos.
Es su caso de aplicación general.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta regla nunca requiere restar ningún término.
Se resta la probabilidad de la intersección para no contar dos veces los elementos comunes.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si P(A)=0,5, P(B)=0,4 y P(A∩B)=0,1, ¿cuál es P(A∪B)?
0,5+0,4-0,1=0,8.
Respuesta: A) 0,8
-
Al lanzar un dado, si A='par' y B='mayor que 3', P(A∪B)=4/6.
3/6+3/6-2/6=4/6.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(A)=0,6, P(B)=0,5 y P(A∩B)=0,3, ¿cuál es P(A∪B)?
0,6+0,5-0,3=0,8.
Respuesta: A) 0,8
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Por qué se resta P(A∩B) en la fórmula de la regla general?
Es la justificación matemática de la resta en esta fórmula.
Respuesta: A) Porque esos elementos se contaron dos veces al sumar P(A) y P(B) por separado
-
Esta fórmula se puede extender de forma más compleja para calcular la unión de tres o más eventos.
Existe una generalización (inclusión-exclusión) para más de dos eventos.
Respuesta: Verdadero
-
En una encuesta, el 60% de los encuestados usa la app A, el 45% usa la app B, y el 25% usa ambas. ¿Qué porcentaje usa al menos una de las dos apps?
60+45-25=80%.
Respuesta: A) 80%