Uso de diagramas de árbol para calcular probabilidades en etapas
Utilizar un diagrama de árbol para calcular la probabilidad de un resultado compuesto, multiplicando las probabilidades a lo largo del camino correspondiente.
Introducción
Además de representar los resultados posibles, un diagrama de árbol puede etiquetarse con las probabilidades de cada rama, permitiendo calcular la probabilidad de cualquier camino completo.
Explicación
Definición formal
Si un camino del árbol pasa por ramas con probabilidades $p_1, p_2, \ldots, p_k$, la probabilidad de ese resultado compuesto es $p_1\times p_2\times\cdots\times p_k$.
Desarrollo didáctico
Al lanzar una moneda dos veces, cada rama tiene probabilidad $\dfrac{1}{2}$. La probabilidad del camino 'CC' es $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$, igual para los otros tres caminos (CS, SC, SS).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Construye el árbol y etiqueta cada rama con su probabilidad correspondiente.
- Paso 2: Identifica el camino completo que representa el resultado de interés.
- Paso 3: Multiplica las probabilidades de todas las ramas de ese camino para obtener la probabilidad del resultado.
Ejemplos
1 Cada rama tiene probabilidad 1/2.
- P(CC)=1/2×1/2=1/4.
2 Rama 1: P=0,3; rama 2: P=0,6.
- P(camino)=0,3×0,6=0,18.
3 ¿Se multiplican las probabilidades de las ramas para obtener la probabilidad de un camino completo?
- Sí, es la regla básica de cálculo con diagramas de árbol.
4 ¿La suma de las probabilidades de todos los caminos completos del árbol debe dar 1?
- Sí, ya que representan todos los resultados posibles del espacio muestral.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar las probabilidades de las ramas de un camino en vez de multiplicarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que la suma de todos los caminos completos sea igual a 1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la probabilidad de una sola rama con la probabilidad del camino completo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La probabilidad de un resultado representado por un camino completo del árbol se calcula multiplicando las probabilidades de todas las ramas que forman ese camino.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La probabilidad de un camino completo en un árbol se calcula:
Es la regla del producto en diagramas de árbol.
Respuesta: A) Multiplicando las probabilidades de sus ramas
-
Al lanzar una moneda dos veces, P(CC)=1/4.
1/2×1/2=1/4.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué debe cumplir la suma de las probabilidades de todos los caminos completos de un árbol?
Representan la totalidad del espacio muestral.
Respuesta: A) Debe ser igual a 1
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Las probabilidades de las ramas de un camino se suman para obtener la probabilidad del camino completo.
Se multiplican, no se suman.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si un camino tiene ramas con probabilidad 0,5 y 0,4, ¿cuál es la probabilidad del camino completo?
0,5×0,4=0,2.
Respuesta: A) 0,2
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Al lanzar tres monedas, la probabilidad de obtener 'CCC' es 1/8.
(1/2)³=1/8.
Respuesta: Verdadero
-
Si P(rama1)=0,7 y P(rama2)=0,5, ¿cuál es la probabilidad del camino que las combina?
0,7×0,5=0,35.
Respuesta: A) 0,35
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Este método de multiplicar a lo largo de un camino se puede usar incluso cuando las probabilidades de las ramas de un mismo nivel no son iguales entre sí.
El diagrama de árbol funciona igual con probabilidades distintas en cada rama, siempre que sumen 1 en cada nivel del mismo nodo.
Respuesta: Verdadero
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Una fábrica tiene 90% de piezas buenas y 10% defectuosas. Se revisan 2 piezas seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean buenas?
0,9×0,9=0,81.
Respuesta: A) 0,81
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¿Por qué se multiplican las probabilidades de las ramas en vez de sumarlas?
Es el fundamento conceptual de la regla del producto aplicada al árbol.
Respuesta: A) Porque cada etapa es un evento sucesivo, y la probabilidad de que ocurran ambos en secuencia sigue la regla del producto