Efecto en la media al multiplicar o dividir todos los datos por una constante

Objetivo

Analizar cómo cambia la media de un conjunto de datos cuando todos los valores se multiplican o dividen por una misma constante.

Este efecto es distinto al de sumar una constante, ya que aquí la media se escala proporcionalmente, no se desplaza en una cantidad fija.

Explicación

Efecto de multiplicar por una constante

Definición formal

Si $y_i=k\times x_i$ para todo $i$, entonces $\bar{y}=k\times\bar{x}$.

Desarrollo didáctico

Si la media de los precios de un producto en pesos es 1000, y se convierten todos los precios a dólares dividiendo por 900 (tipo de cambio aproximado), la nueva media será $1000/900\approx1{,}11$ dólares.

Procedimiento

Paso 1: Identifica la media original del conjunto de datos.
Paso 2: Identifica la constante k por la que se multiplican (o dividen) todos los datos por igual.
Paso 3: Multiplica (o divide) esa constante k directamente por la media original para obtener la nueva media.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Declarar el efecto de multiplicar (escala proporcional) con el de sumar una constante (desplazamiento fijo)."

"Multiplicar solo la media sin verificar que la constante se aplica exactamente a todos los datos por igual."

"Cometer errores aritméticos al multiplicar o dividir la media por la constante correspondiente."

Resumen

Si todos los datos de un conjunto se multiplican (o dividen) por una constante $k$, la nueva media es igual a la media original multiplicada (o dividida) por esa misma constante $k$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Si todos los datos se multiplican por una constante k, la nueva media es:
Es la propiedad de la media frente a la multiplicación por una constante.

Respuesta: A) La media original multiplicada por k
Si la media es 8 y se duplican todos los datos, la nueva media es 16.
Si la media de un conjunto es 30 y se dividen todos los datos por 3, ¿cuál es la nueva media?
30/3=10.

Respuesta: A) 10

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Multiplicar todos los datos por una constante tiene el mismo efecto en la media que sumar esa constante.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si la media de un conjunto es 5 y se multiplican todos los datos por 4, ¿cuál es la nueva media?
5×4=20.

Respuesta: A) 20
Si la media de precios en pesos es 1000 y se divide entre 900 (tipo de cambio) para pasar a dólares, la nueva media es aproximadamente 1,11.
Si la media de un conjunto es 15 y se multiplican todos los datos por 0,5, ¿cuál es la nueva media?
15×0,5=7,5.

Respuesta: A) 7,5

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Por qué multiplicar todos los datos por una constante k escala la media exactamente por ese mismo factor k?
Es la demostración algebraica de esta propiedad de la media.

Respuesta: A) Porque la suma total de los datos se multiplica por k, y al dividir por n (que no cambia), el efecto neto es multiplicar la media por k
Combinando ambas propiedades (suma y multiplicación de constantes), se puede predecir la nueva media tras una transformación lineal y=k·x+c, sin recalcular todos los datos.
La media de las ventas mensuales de una tienda es 200 (en miles de pesos). Si se decide expresar las ventas en millones de pesos (dividiendo por 1000), ¿cuál es la nueva media?
200/1000=0,2.

Respuesta: A) 0,2

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación