Concepto y cálculo básico de la media geométrica
Conocer el concepto de media geométrica como la raíz n-ésima del producto de n valores, útil especialmente para tasas de crecimiento.
A diferencia de la media aritmética, la media geométrica es más apropiada cuando se combinan valores que representan tasas o factores multiplicativos, como el crecimiento porcentual.
Explicación
Definición formal
$MG=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times\cdots\times x_n}$, la raíz n-ésima del producto de los n valores.
Desarrollo didáctico
Para los valores 4 y 9, la media geométrica es $MG=\sqrt{4\times9}=\sqrt{36}=6$, distinta de la media aritmética, que sería $(4+9)/2=6{,}5$.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica los n valores positivos de los que se calculará la media geométrica.
- Paso 2: Multiplica todos esos valores entre sí.
- Paso 3: Calcula la raíz n-ésima de ese producto (por ejemplo, raíz cuadrada si son 2 valores, raíz cúbica si son 3).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- MG=√(4×9)=√36=6.
- MG=∛(2×8×4)=∛64=4.
- Sí, ya que involucra raíces de productos, que no están bien definidas con valores negativos en el caso general.
- No, ambas son medidas distintas; solo coinciden cuando todos los valores son iguales entre sí.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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La media geométrica de $n$ valores positivos es la raíz $n$-ésima del producto de todos ellos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La media geométrica de n valores se calcula como:
Es la definición de media geométrica.
Respuesta: A) La raíz n-ésima del producto de los valores
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La media geométrica de 4 y 9 es 6.
√(4×9)=√36=6.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es la media geométrica de 2 y 8?
√(2×8)=√16=4.
Respuesta: A) 4
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La media geométrica es siempre igual a la media aritmética.
Son medidas distintas, salvo cuando todos los valores son iguales entre sí.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la media geométrica de 3 y 27?
√(3×27)=√81=9.
Respuesta: A) 9
-
La media geométrica de 1, 4 y 16 es 4.
∛(1×4×16)=∛64=4.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la media geométrica de 5 y 20?
√(5×20)=√100=10.
Respuesta: A) 10
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué la media geométrica es más apropiada que la aritmética para promediar tasas de crecimiento compuesto?
Es la justificación matemática de preferir la media geométrica en contextos de crecimiento compuesto.
Respuesta: A) Porque el crecimiento compuesto es un proceso multiplicativo, y la media geométrica captura correctamente ese efecto multiplicativo entre periodos
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La media geométrica de un conjunto de valores positivos es siempre menor o igual que la media aritmética de esos mismos valores.
Es una propiedad matemática conocida (desigualdad de medias), válida para valores positivos.
Respuesta: Verdadero
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Una inversión crece un 20% el primer año (factor 1,2) y un 5% el segundo año (factor 1,05). ¿Cuál es el factor de crecimiento promedio anual (media geométrica) aproximado?
La media geométrica es la raíz cuadrada del producto de ambos factores de crecimiento.
Respuesta: A) √(1,2×1,05)≈1,122