Cálculo de probabilidades en una o dos colas de la distribución normal
Calcular la probabilidad asociada a una o dos colas de la distribución normal a partir de valores críticos.
A veces interesa saber qué probabilidad hay de estar "muy lejos" del centro, ya sea de un solo lado (una cola) o de ambos lados a la vez (dos colas).
Explicación
Definición formal
Para una cola derecha, $P(Z>z)=1-P(Z<z)$. Para dos colas simétricas (valores mayores que $z$ y menores que $-z$),<br /> el área total es $2\cdot(1-P(Z<z))$.</p>
Desarrollo didáctico
Este cálculo es muy usado en pruebas de hipótesis y en criterios de decisión, donde se define un "nivel crítico" de
probabilidad en los extremos de la distribución.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica si se pide el área de una cola o de dos colas simétricas.
- Paso 2: Calcula $P(Z<z)$ usando la tabla y aplica el complemento para obtener el área de una cola.
- Paso 3: Si son dos colas simétricas, duplica el área de una sola cola.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Área de la cola derecha $=1-0{,}9772$.
- Área de la cola derecha $=0{,}0228$.
- Área de dos colas $=2\times 0{,}0228$.
- Área de dos colas $=0{,}0456$.
- Sí, siempre que ambas colas sean simétricas respecto de la media.
- No, se calcula restando el valor de la tabla de 1 (complemento).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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El área de una cola se calcula con el complemento de la tabla; el área de dos colas simétricas se calcula duplicando el área de una sola cola.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El área de dos colas simétricas se obtiene duplicando el área de una sola cola.
Siempre que ambas colas sean simétricas respecto de la media.
Respuesta: Verdadero
-
El área de una cola derecha se calcula como:
Es el complemento del área acumulada a la izquierda.
Respuesta: A) $1-P(Z<z)$
-
Si $P(Z<2)=0{,}9772$, calcula el área de la cola derecha (Z>2).
$1-0{,}9772=0{,}0228$.
Respuesta: A) 0,0228
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El área de una cola derecha se calcula sumando 1 al valor de la tabla.
Se calcula restando el valor de la tabla de 1.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con el área de una cola igual a 0,0228, calcula el área de dos colas simétricas.
$2\times 0{,}0228=0{,}0456$.
Respuesta: A) 0,0456
-
El cálculo de áreas en las colas es muy usado en pruebas de hipótesis.
Es una aplicación práctica común de este cálculo.
Respuesta: Verdadero
-
Si $P(Z<1{,}96)\approx 0{,}975$, ¿cuál es el área de dos colas simétricas (Z>1,96 y Z<-1,96)?
Área de una cola $=1-0{,}975=0{,}025$; dos colas $=2\times 0{,}025=0{,}05$.
Respuesta: A) 0,05
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un control de calidad rechaza piezas con $|Z|>1{,}96$. Si $P(Z<1{,}96)\approx 0{,}975$, ¿qué porcentaje de piezas se espera rechazar?
El área de las dos colas simétricas es $2\times(1-0{,}975)=0{,}05$, es decir, 5%.
Respuesta: A) Aproximadamente 5%
-
El cálculo de áreas en las colas es especialmente relevante para definir criterios de decisión en contextos de riesgo.
Es una aplicación estándar en estadística inferencial y control de calidad.
Respuesta: Verdadero
-
Un proceso define como 'crítico' cualquier valor con $Z>2{,}58$. Si $P(Z<2{,}58)\approx 0{,}995$, ¿qué porcentaje de valores se espera que sean críticos en una sola cola?
Área de una cola $=1-0{,}995=0{,}005$, es decir, 0,5%.
Respuesta: A) Aproximadamente 0,5%