Cálculo de probabilidad mayor que un valor usando complemento
Calcular la probabilidad de que una variable normal sea mayor que un valor determinado, usando el complemento de la tabla Z.
Introducción
Si la tabla Z solo entrega el área a la izquierda, para calcular el área a la derecha basta con restar ese resultado de 1.
Explicación
Definición formal
Como el área total bajo la curva es 1, se cumple que $P(X>a)=1-P(X\leq a)$, donde $P(X\leq a)$ se obtiene
estandarizando $a$ y buscando el valor en la tabla Z.
Desarrollo didáctico
Este es el método del complemento: en vez de buscar directamente el área derecha (que muchas tablas no entregan),
se calcula 1 menos el área izquierda ya conocida.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula el puntaje $Z=\dfrac{a-\mu}{\sigma}$.
- Paso 2: Busca $P(Z\leq z)$ en la tabla normal estándar.
- Paso 3: Calcula $P(X>a)=1-P(Z\leq z)$.
Ejemplos
1 Si $P(Z\leq 1)=0{,}8413$, ¿cuál es $P(Z>1)$?
- $P(Z>1)=1-0{,}8413$.
- $P(Z>1)=0{,}1587$.
2 ¿Por qué se usa el complemento para calcular $P(X>a)$?
- Porque la tabla Z entrega directamente el área acumulada a la izquierda, no a la derecha.
- El complemento permite obtener el área derecha a partir de la izquierda.
3 ¿$P(X>a)$ se calcula como $1-P(X\leq a)$?
- Sí, es el método del complemento.
4 ¿La tabla Z entrega directamente el área a la derecha de un valor?
- No, entrega el área acumulada a la izquierda; el área derecha se obtiene por complemento.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar de 1 y usar directamente el valor de la tabla como si fuera el área derecha."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el complemento con simplemente cambiar el signo del resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal el puntaje Z antes de aplicar el complemento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el complemento cuando en realidad se pedía el área izquierda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Redondear el resultado antes de restar de 1, perdiendo precisión."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular $P(X>a)$ se usa el complemento, aplicando $P(X>a)=1-P(X\leq a)$, calculando primero el área acumulada a la izquierda con la tabla Z.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$P(X>a)$ se calcula como:
Es el método del complemento.
Respuesta: A) $1-P(X\leq a)$
-
La tabla Z entrega directamente el área a la derecha de un valor.
Entrega el área a la izquierda; el área derecha se obtiene por complemento.
Respuesta: Falso
-
Si $P(Z\leq 1)=0{,}8413$, ¿cuál es $P(Z>1)$?
$P(Z>1)=1-0{,}8413=0{,}1587$.
Respuesta: A) 0,1587
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El complemento consiste en cambiar el signo del resultado de la tabla.
El complemento consiste en restar el valor de la tabla de 1, no en cambiar el signo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $P(Z\leq 0{,}5)=0{,}6915$, ¿cuál es $P(Z>0{,}5)$?
$P(Z>0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$.
Respuesta: A) 0,3085
-
El método del complemento se aplica porque el área total bajo la curva es 1.
Es la base matemática del método del complemento.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\mu=100$, $\sigma=15$ y se busca $P(X>115)$, ¿qué puntaje Z corresponde primero?
$Z=(115-100)/15=1$; luego $P(X>115)=1-P(Z<1)$.
Respuesta: A) Z=1, luego se aplica el complemento
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El peso de un producto sigue $N(500, 20)$ g. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 540 g?
$Z=(540-500)/20=2$; $P(X>540)=1-P(Z<2)\approx 1-0{,}9772=0{,}0228$.
Respuesta: A) $1-P(Z<2)\approx 0{,}0228$
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Un test tiene $N(500, 100)$. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga más de 650 puntos?
$Z=(650-500)/100=1{,}5$; $P(X>650)=1-0{,}9332=0{,}0668$.
Respuesta: A) $1-P(Z<1{,}5)\approx 0{,}0668$
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El método del complemento para calcular P(X>a) requiere haber calculado primero P(X<a).
Es el paso previo indispensable antes de aplicar el complemento.
Respuesta: Verdadero