Cálculo de probabilidad entre dos valores de la variable normal
Calcular la probabilidad de que una variable normal caiga entre dos valores determinados, restando áreas acumuladas.
Para saber qué porción de la curva queda entre dos valores, basta con calcular las dos áreas acumuladas por separado y restarlas.
Explicación
Definición formal
Para calcular $P(a<X<b)$, se estandarizan ambos valores a $z_a$ y $z_b$, y se calcula $P(a<X<b)=P(Z<z_b)-P(Z<z_a)$<br /> usando la tabla normal estándar.
Desarrollo didáctico
Es fundamental restar en el orden correcto (el área mayor menos la menor), ya que $b$ siempre debe ser mayor que
$a$ para que el resultado sea una probabilidad positiva.
Procedimiento
- Paso 1: Estandariza ambos valores $a$ y $b$ a sus puntajes $z_a$ y $z_b$.
- Paso 2: Busca $P(Z<z_a)$ y $P(Z<z_b)$ en la tabla.
- Paso 3: Calcula $P(a<X<b)=P(Z<z_b)-P(Z<z_a)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $P(a<X<b)=0{,}7-0{,}3$.</p>
- $P(a<X<b)=0{,}4$.</p>
- Porque el área entre $a$ y $b$ corresponde exactamente a la diferencia entre ambas áreas acumuladas.
- Sí, ambos deben transformarse a puntajes $Z$ antes de usar la tabla.
- No, se restan; sumarlas daría un resultado incorrecto y mayor que 1 en muchos casos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Para calcular $P(a<X<b)$ se restan las áreas acumuladas, aplicando $P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a)$, usando la tabla Z para cada una.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Se necesita estandarizar ambos valores a y b para calcular $P(a<X<b)$.</p>
Ambos deben transformarse a puntajes Z antes de usar la tabla.
Respuesta: Verdadero
-
$P(a<X<b)$ se calcula como:</p>
Es la fórmula para calcular probabilidad entre dos valores.
Respuesta: A) $P(X<b)-P(X<a)$
-
Si $P(Z<z_a)=0{,}3$ y $P(Z<z_b)=0{,}7$, ¿cuál es $P(a<X<b)$?</p>
$P(a<X<b)=0{,}7-0{,}3=0{,}4$.</p>
Respuesta: A) 0,4
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se suman las áreas acumuladas para calcular $P(a<X<b)$.</p>
Se restan, no se suman, las áreas acumuladas.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $P(Z<0{,}5)=0{,}6915$ y $P(Z<1{,}5)=0{,}9332$, ¿cuál es $P(0{,}5<Z<1{,}5)$?</p>
$0{,}9332-0{,}6915=0{,}2417$.
Respuesta: A) 0,2417
-
Para calcular P(a<X<b), b siempre debe ser mayor que a.
De lo contrario, la resta daría un resultado negativo sin sentido.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\mu=100$, $\sigma=10$, ¿qué puntajes Z corresponden a $P(90<X<120)$?</p>
$Z_a=(90-100)/10=-1$; $Z_b=(120-100)/10=2$.
Respuesta: A) $Z_a=-1$ y $Z_b=2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El orden de la resta al calcular P(a<X<b) importa: siempre se resta el área menor de la mayor.
Restar en el orden incorrecto produce un resultado negativo sin sentido.
Respuesta: Verdadero
-
Las estaturas de un grupo siguen $N(165, 6)$ cm. ¿Cuál es la probabilidad de medir entre 159 y 171 cm?
El intervalo [159,171]=[μ-σ,μ+σ] corresponde a la regla del 68%.
Respuesta: A) Aproximadamente 0,68 (regla del 68%)
-
Un test sigue $N(500, 100)$. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 400 y 600 puntos?
El intervalo [400,600]=[μ-σ,μ+σ] corresponde a la regla del 68%.
Respuesta: A) Aproximadamente 0,68