Cálculo de probabilidad entre dos valores de la variable normal
Calcular la probabilidad de que una variable normal caiga entre dos valores determinados, restando áreas acumuladas.
Introducción
Para saber qué porción de la curva queda entre dos valores, basta con calcular las dos áreas acumuladas por separado y restarlas.
Explicación
Definición formal
Para calcular $P(a<X<b)$, se estandarizan ambos valores a $z_a$ y $z_b$, y se calcula $P(a<X<b)=P(Z<z_b)-P(Z<z_a)$<br /> usando la tabla normal estándar.
Desarrollo didáctico
Es fundamental restar en el orden correcto (el área mayor menos la menor), ya que $b$ siempre debe ser mayor que
$a$ para que el resultado sea una probabilidad positiva.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Estandariza ambos valores $a$ y $b$ a sus puntajes $z_a$ y $z_b$.
- Paso 2: Busca $P(Z<z_a)$ y $P(Z<z_b)$ en la tabla.
- Paso 3: Calcula $P(a<X<b)=P(Z<z_b)-P(Z<z_a)$.
Ejemplos
1 Si $P(Z<z_a)=0{,}3$ y $P(Z<z_b)=0{,}7$, ¿cuál es $P(a<X<b)$?
- $P(a<X<b)=0{,}7-0{,}3$.
- $P(a<X<b)=0{,}4$.
2 ¿Por qué se resta el área menor de la mayor al calcular una probabilidad entre dos valores?
- Porque el área entre $a$ y $b$ corresponde exactamente a la diferencia entre ambas áreas acumuladas.
3 ¿Se necesita estandarizar ambos valores $a$ y $b$ para calcular $P(a<X<b)$?
- Sí, ambos deben transformarse a puntajes $Z$ antes de usar la tabla.
4 ¿Se suman las dos áreas acumuladas para calcular $P(a<X<b)$?
- No, se restan; sumarlas daría un resultado incorrecto y mayor que 1 en muchos casos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar las áreas acumuladas en vez de restarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Restar en el orden incorrecto, obteniendo un resultado negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar estandarizar alguno de los dos valores antes de buscar en la tabla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el intervalo $[a,b]$ con uno de sus extremos únicamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar la media o desviación estándar incorrecta al estandarizar alguno de los valores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular $P(a<X<b)$ se restan las áreas acumuladas, aplicando $P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a)$, usando la tabla Z para cada una.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Se necesita estandarizar ambos valores a y b para calcular $P(a<X<b)$.</p>
Ambos deben transformarse a puntajes Z antes de usar la tabla.
Respuesta: Verdadero
-
$P(a<X<b)$ se calcula como:</p>
Es la fórmula para calcular probabilidad entre dos valores.
Respuesta: A) $P(X<b)-P(X<a)$
-
Si $P(Z<z_a)=0{,}3$ y $P(Z<z_b)=0{,}7$, ¿cuál es $P(a<X<b)$?</p>
$P(a<X<b)=0{,}7-0{,}3=0{,}4$.</p>
Respuesta: A) 0,4
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se suman las áreas acumuladas para calcular $P(a<X<b)$.</p>
Se restan, no se suman, las áreas acumuladas.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $P(Z<0{,}5)=0{,}6915$ y $P(Z<1{,}5)=0{,}9332$, ¿cuál es $P(0{,}5<Z<1{,}5)$?</p>
$0{,}9332-0{,}6915=0{,}2417$.
Respuesta: A) 0,2417
-
Para calcular P(a<X<b), b siempre debe ser mayor que a.
De lo contrario, la resta daría un resultado negativo sin sentido.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\mu=100$, $\sigma=10$, ¿qué puntajes Z corresponden a $P(90<X<120)$?</p>
$Z_a=(90-100)/10=-1$; $Z_b=(120-100)/10=2$.
Respuesta: A) $Z_a=-1$ y $Z_b=2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El orden de la resta al calcular P(a<X<b) importa: siempre se resta el área menor de la mayor.
Restar en el orden incorrecto produce un resultado negativo sin sentido.
Respuesta: Verdadero
-
Las estaturas de un grupo siguen $N(165, 6)$ cm. ¿Cuál es la probabilidad de medir entre 159 y 171 cm?
El intervalo [159,171]=[μ-σ,μ+σ] corresponde a la regla del 68%.
Respuesta: A) Aproximadamente 0,68 (regla del 68%)
-
Un test sigue $N(500, 100)$. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 400 y 600 puntos?
El intervalo [400,600]=[μ-σ,μ+σ] corresponde a la regla del 68%.
Respuesta: A) Aproximadamente 0,68