Cálculo de probabilidad acumulada menor que un valor
Calcular la probabilidad de que una variable normal sea menor que un valor determinado, usando la tabla Z.
Calcular "la probabilidad de que algo sea menor que cierto valor" es justo lo que la tabla Z entrega directamente, sin pasos adicionales.
Explicación
Definición formal
Para calcular $P(X<a)$, se calcula $Z=\dfrac{a-\mu}{\sigma}$ y luego se busca $P(Z<z)$ directamente en la tabla<br /> normal estándar.
Desarrollo didáctico
Como la variable es continua, $P(X<a)$ y $P(X\leq a)$ son exactamente iguales, ya que la probabilidad de un valor<br /> puntual exacto es cero.
Procedimiento
- Paso 1: Calcula el puntaje $Z=\dfrac{a-\mu}{\sigma}$.
- Paso 2: Busca ese valor de $Z$ en la tabla normal estándar.
- Paso 3: El valor obtenido es directamente $P(X<a)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $Z=(110-100)/10=1$.
- Se busca $P(Z<1)$ en la tabla para obtener el resultado.
- Sí, porque la probabilidad de un valor puntual exacto es cero en variables continuas.
- Sí, ese es el procedimiento estándar.
- No, son iguales, ya que la probabilidad puntual de $a$ es cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Para calcular $P(X<a)$ en una distribución normal, se estandariza el valor $a$ a un puntaje $Z$ y se busca directamente ese valor en la tabla.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para calcular $P(X<a)$ en una distribución normal, el primer paso es:</p>
Sin estandarizar no se puede usar la tabla Z.
Respuesta: A) Estandarizar el valor a a un puntaje Z
-
$P(X<a)$ y $P(X\leq a)$ son iguales en una variable continua.</p>
La probabilidad puntual de a es cero, por lo que ambas expresiones son equivalentes.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\mu=100$, $\sigma=10$ y se busca $P(X<110)$, ¿cuál es el puntaje Z correspondiente?
$Z=(110-100)/10=1$.
Respuesta: A) 1
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$P(X<a)$ y $P(X\leq a)$ son distintas en una variable continua.</p>
Son iguales, ya que la probabilidad puntual de a es cero.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El valor que entrega la tabla Z para un puntaje Z dado corresponde directamente a $P(X<a)$ tras estandarizar.</p>
Es el procedimiento estándar para calcular esta probabilidad.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\mu=50$, $\sigma=5$ y se busca $P(X<55)$, ¿cuál es el puntaje Z correspondiente?
$Z=(55-50)/5=1$.
Respuesta: A) 1
-
Si $P(Z<1)=0{,}8413$, ¿cuál es $P(X<a)$ si $a$ corresponde a $Z=1$?</p>
El valor de la tabla para Z=1 es directamente la probabilidad buscada.
Respuesta: A) 0,8413
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El tiempo de entrega de un producto sigue $N(5, 1)$ días. ¿Cuál es la probabilidad de que un pedido tarde menos de 6 días?
$Z=(6-5)/1=1$; se busca $P(Z<1)$ en la tabla.
Respuesta: A) $P(Z<1)\approx 0{,}8413$
-
Calcular $P(X<a)$ requiere conocer la media y la desviación estándar de la distribución de X.</p>
Ambos valores son indispensables para estandarizar correctamente.
Respuesta: Verdadero
-
Un test estandarizado sigue $N(500, 100)$. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga menos de 600 puntos?
$Z=(600-500)/100=1$; se busca $P(Z<1)$.
Respuesta: A) $P(Z<1)\approx 0{,}8413$