Comparación de valores provenientes de distribuciones normales distintas mediante puntajes Z
Comparar valores provenientes de distribuciones normales distintas usando sus puntajes Z respectivos.
Introducción
Comparar un resultado de una prueba con otro de una prueba totalmente distinta solo tiene sentido si primero conviertes ambos a la misma escala común, la de los puntajes Z.
Explicación
Definición formal
Dados dos valores $x_1\sim N(\mu_1,\sigma_1)$ y $x_2\sim N(\mu_2,\sigma_2)$, se calculan $Z_1=\dfrac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}$
y $Z_2=\dfrac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}$, y se comparan ambos puntajes Z para determinar la posición relativa de cada
valor.
Desarrollo didáctico
Un puntaje $Z$ más alto indica una posición relativa más favorable dentro de su propia distribución, sin importar
el valor numérico original de cada dato.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la media y desviación estándar de cada una de las dos distribuciones.
- Paso 2: Calcula el puntaje Z de cada valor en su distribución correspondiente.
- Paso 3: Compara ambos puntajes Z para determinar cuál valor tiene una posición relativa más alta.
Ejemplos
1 Un producto A pesa 520 g en una distribución $N(500, 20)$, y un producto B pesa 210 g en una distribución $N(200, 5)$. ¿Cuál tiene una posición relativa más alta?
- $Z_A=(520-500)/20=1$.
- $Z_B=(210-200)/5=2$; el producto B tiene una posición relativa más alta.
2 ¿Por qué no basta con comparar directamente 520 g y 210 g en el ejemplo anterior?
- Porque ambos productos provienen de distribuciones distintas, con medias y desviaciones estándar diferentes.
3 ¿Comparar puntajes Z permite determinar la posición relativa de valores de distribuciones distintas?
- Sí, es exactamente la utilidad de esta técnica.
4 ¿Comparar directamente los valores originales, sin estandarizar, es una forma válida de comparación entre distribuciones distintas?
- No, se debe estandarizar primero, ya que las distribuciones tienen escalas distintas.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Comparar directamente los valores originales sin estandarizar cuando provienen de distribuciones distintas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar la media o desviación estándar de una distribución para estandarizar el valor de la otra."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir un puntaje Z mayor con un valor numérico original mayor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar que ambas distribuciones deben ser normales para que esta comparación sea válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar interpretar el resultado en el contexto de cada distribución por separado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para comparar valores de distribuciones normales distintas, se calcula el puntaje Z de cada uno en su propia distribución y luego se comparan esos puntajes Z entre sí.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para comparar valores de distribuciones normales distintas, se deben comparar:
Los puntajes Z ponen a ambos valores en la misma escala comparable.
Respuesta: A) Sus puntajes Z respectivos
-
Un producto A pesa 520 g en $N(500,20)$, y un producto B pesa 210 g en $N(200,5)$. ¿Cuál tiene mayor posición relativa?
$Z_A=(520-500)/20=1$; $Z_B=(210-200)/5=2$.
Respuesta: A) El producto B (Z=2 contra Z=1)
-
Comparar directamente los valores originales sin estandarizar es válido cuando las distribuciones son distintas.
Se debe estandarizar primero, ya que las distribuciones tienen escalas distintas.
Respuesta: Falso
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un puntaje Z mayor siempre implica un valor numérico original mayor entre dos distribuciones distintas.
El Z mayor indica mejor posición relativa, no necesariamente un valor numérico original mayor.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Qué se necesita conocer de cada distribución para comparar dos valores mediante Z?
Ambos parámetros son necesarios para estandarizar correctamente cada valor.
Respuesta: A) La media y desviación estándar de cada distribución
-
Un valor X1 tiene Z=0,8 y un valor X2 tiene Z=-0,3, cada uno en su propia distribución normal. ¿Cuál tiene mejor posición relativa?
Un Z positivo mayor indica mejor posición relativa que uno negativo.
Respuesta: A) X1
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Ambas distribuciones comparadas deben ser normales para que esta comparación sea válida.
Es un requisito para que el método de comparación mediante Z sea apropiado.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Comparar puntajes Z de dos distribuciones distintas requiere interpretar cuidadosamente si un valor mayor o menor es mejor en el contexto de cada variable.
En variables como tiempo de carrera, un valor menor puede ser mejor, invirtiendo la interpretación habitual.
Respuesta: Verdadero
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Dos productos de marcas distintas se comparan por su duración: producto A dura 1200 h en $N(1000, 100)$, producto B dura 550 h en $N(500, 25)$. ¿Cuál tiene mejor posición relativa de duración?
$Z_A=(1200-1000)/100=2$; $Z_B=(550-500)/25=2$; ambos tienen igual posición relativa.
Respuesta: C) Ambos tienen exactamente la misma posición relativa (Z=2 cada uno)
-
Dos atletas compiten en pruebas distintas: uno corre 100 m en 10,2 s con $N(10{,}5, 0{,}2)$ s, otro nada 50 m en 24 s con $N(25, 1)$ s (menor tiempo es mejor en ambos). ¿Quién tuvo mejor desempeño relativo?
$Z_{corredor}=(10{,}2-10{,}5)/0{,}2=-1{,}5$; $Z_{nadador}=(24-25)/1=-1$; el corredor tiene un Z más negativo, mejor relativo si menor tiempo es mejor.
Respuesta: B) El corredor (Z=-1,5 contra Z=-1 del nadador)