Identificación de número primo por cantidad de divisores
Identificar números primos utilizando métodos como la criba de Eratóstenes o la verificación de divisores hasta la raíz cuadrada del número.
Introducción
Imagínate que tienes un colador gigante para números y quieres separar los números primos de los demás. Hace más de 2000 años, un sabio griego llamado Eratóstenes inventó un "colador de números" de papel.
El truco consiste en escribir los números del 1 al 100 e ir tachando los múltiplos de 2, de 3, de 5, de 7... ¡y así sucesivamente! Al final, los números que quedan sin tachar son los números primos.
En esta lección descubrirás este y otros métodos para encontrar los números primos.
Explicación
Para identificar si un número $N$ es primo, existen varios métodos:
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La Criba de Eratóstenes: Es un algoritmo antiguo y eficiente para encontrar todos los números primos menores que un número dado. Consiste en listar los números y tachar consecutivamente los múltiplos de cada primo encontrado (empezando por los múltiplos de 2, luego los de 3, 5, etc.). Los números que permanecen sin tachar son primos.
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Prueba de Divisibilidad Acotada: Para comprobar si un número específico $N$ es primo, no es necesario dividirlo por todos los números menores a él. Basta con comprobar que no sea divisible por ningún número primo menor o igual a su raíz cuadrada ($\sqrt{N}$).
Por ejemplo, para verificar si $97$ es primo:
- Calculamos $\sqrt{97} \approx 9.85$.
- Los primos menores o iguales a $9.85$ son $2, 3, 5, 7$.
- Probamos la divisibilidad de $97$ por cada uno:
- $97$ no termina en par (no divisible por $2$).
- $9+7=16$, no es múltiplo de 3 (no divisible por $3$).
- $97$ no termina en $0$ ni en $5$ (no divisible por $5$).
- $97 \div 7 = 13$ con residuo $6$ (no divisible por $7$).
- Como no es divisible por ninguno de estos primos, $97$ es un número primo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Estima la raíz cuadrada entera o aproximada del número $N$ que quieres evaluar.
- Paso 2: Haz una lista de todos los números primos que sean menores o iguales a esa raíz cuadrada.
- Paso 3: Divide el número $N$ por cada uno de los primos de la lista. Si alguna división es exacta, el número no es primo. Si ninguna división es exacta, el número es primo.
Ejemplos
1 Identifica si el número $53$ es primo usando la regla de la raíz cuadrada.
- Paso a: Estimamos la raíz cuadrada de $53$. Como $7^2 = 49$ y $8^2 = 64$, entonces $\sqrt{53}$ está entre $7$ y $8$ (es aproximadamente $7.28$).
- Paso b: Listamos los números primos menores o iguales a $7$, que son: $2, 3, 5, 7$.
- Paso c: Probamos la divisibilidad de $53$ por estos primos: no es divisible por $2$ (es impar), ni por $3$ ($5+3=8$), ni por $5$ (termina en $3$), ni por $7$ ($53 \div 7 = 7$ con resto $4$).
- Paso d: Al no ser divisible por ninguno de ellos, $53$ es un número primo.
2 Determina si el número $91$ es primo o no.
- Paso a: Calculamos la raíz cuadrada aproximada de $91$. Como $9^2 = 81$ y $10^2 = 100$, $\sqrt{91}$ es aproximadamente $9.54$.
- Paso b: Los primos menores o iguales a $9$ son: $2, 3, 5, 7$.
- Paso c: Probamos la divisibilidad: $91$ es impar (no por $2$), $9+1=10$ (no por $3$), termina en $1$ (no por $5$).
- Paso d: Al probar por $7$: $91 \div 7 = 13$ de forma exacta. Por lo tanto, $91$ tiene como divisores a $7$ y $13$. Concluimos que $91$ no es primo.
3 ¿Es el número $101$ un número primo?
- La raíz aproximada de $101$ es un poco más de $10$ ($10^2 = 100$).
- Los primos menores o iguales a $10$ son $2, 3, 5, 7$.
- Probamos divisores: $101$ no es divisible por $2$ (impar), ni por $3$ ($1+0+1=2$), ni por $5$ (termina en $1$), ni por $7$ ($101 \div 7 = 14$ residuo $3$).
- Como no es divisible por ninguno de ellos, $101$ es primo.
4 ¿Es el número $87$ un número primo?
- La raíz aproximada de $87$ es algo menor que $10$ ($9^2 = 81$).
- Los primos menores o iguales a $9$ son $2, 3, 5, 7$.
- Probamos divisibilidad: $87$ es impar, por lo que no es divisible por $2$.
- Sumamos las cifras: $8 + 7 = 15$. Como $15$ es múltiplo de $3$, el número $87$ es divisible por $3$ ($87 = 3 \cdot 29$). Por lo tanto, no es primo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar probar la divisibilidad con el número 7, lo que lleva a clasificar erróneamente números como 91 o 119 como primos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que hay que probar la división por todos los números menores, haciendo el cálculo innecesariamente largo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No usar correctamente los criterios de divisibilidad básicos al verificar los posibles divisores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que un número que termina en 1, 3, 7 o 9 es automáticamente primo sin verificar divisores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la raíz cuadrada con la mitad del número en la regla del límite de búsqueda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La identificación de números primos se puede realizar tachando de forma sistemática los múltiplos de números menores en una lista (Criba de Eratóstenes) o bien verificando que el número no sea divisible por ningún número primo menor o igual a su raíz cuadrada.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si sabemos que el número entero $X$ no es divisible por ningún número primo menor o igual a $7$, ¿cuál es el número más pequeño mayor que $1$ que podría ser compuesto?
Si no es divisible por ningún primo menor o igual a $7$ (es decir, no es divisible por $2$, $3$, $5$, $7$), los factores primos mínimos que podría tener son $11$ o superiores. El número compuesto más pequeño bajo estas condiciones es $11 \cdot 11 = 121$.
Respuesta: A) $121$ ($11 \cdot 11$)
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Para determinar si un número entero $N$ es primo, ¿hasta qué valor es suficiente probar si es divisible por algún número primo?
Si un número $N$ es compuesto, debe tener al menos un factor primo menor o igual a su raíz cuadrada. Por lo tanto, si no es divisible por ningún primo menor o igual a $\sqrt{N}$, entonces $N$ es primo.
Respuesta: A) Hasta la raíz cuadrada de $N$ ($\sqrt{N}$).
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Al buscar números primos en una lista del $1$ al $100$ con la Criba de Eratóstenes, ¿cuál es la primera serie de múltiplos que se tacha después de omitir el $1$ y marcar el $2$?
En la Criba de Eratóstenes, después de dejar el $2$ como primer número primo, se tachan todos sus múltiplos mayores que él ($4, 6, 8, 10...$) por ser compuestos.
Respuesta: A) Los múltiplos de $2$ (excepto el $2$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Utilizando la criba de Eratóstenes, ¿cuál de los siguientes números del $1$ al $30$ permanece sin tachar (es decir, es primo)?
El número $23$ es primo y permanece sin tachar. En cambio, $21$ ($3 \cdot 7$), $25$ ($5 \cdot 5$) y $27$ ($3 \cdot 9$) son compuestos y se tachan en la criba.
Respuesta: A) $23$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $119$ es primo?
Probamos la divisibilidad de $119$ por números primos. Al dividir por $7$: $119 \div 7 = 17$ de forma exacta. Por lo tanto, $119$ es compuesto.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que entre $1$ y $10$ hay exactamente cuatro números primos?
Los números primos entre $1$ y $10$ son $2$, $3$, $5$ y $7$. Esto hace un total de $4$ números.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que para verificar si el número $73$ es primo basta con comprobar que no sea divisible por $2, 3, 5$ y $7$?
Como $\sqrt{73} \approx 8.54$, los primos menores o iguales a la raíz son $2, 3, 5$ y $7$. Al no ser divisible por ninguno de ellos, concluimos que es primo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si aplicamos el método de verificar divisores primos hasta la raíz cuadrada para determinar si el número $143$ es primo, ¿por cuál de los siguientes números primos resulta ser divisible?
La raíz de $143$ es aproximadamente $11.95$. Los primos a verificar son $2, 3, 5, 7, 11$. Al dividir $143 \div 11 = 13$ de forma exacta. Por lo tanto, es divisible por $11$ y es compuesto.
Respuesta: A) $11$
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Un profesor pide a sus alumnos identificar los números primos en el rango del $40$ al $50$. Cuatro alumnos dan las siguientes respuestas. ¿Quién está en lo correcto?
Analicemos los números impares en ese rango:
- $41$ es primo.
- $43$ es primo.
- $45$ termina en $5$ (compuesto).
- $47$ es primo.
- $49 = 7 \cdot 7$ (compuesto).
Por lo tanto, los únicos números primos son $41, 43, 47$. Estela está en lo correcto.Respuesta: A) Estela dice que son $\{41, 43, 47\}$.
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Se define una secuencia de números de la forma $2^n - 1$ (conocidos como números de Mersenne). Si evaluamos esta expresión para los primeros cuatro números primos ($n = 2, 3, 5, 7$), ¿cuál de los resultados obtenidos NO es un número primo?
El enunciado pregunta por los resultados. Al evaluar para $n=11$, se obtiene $2^{11}-1 = 2047$. Como $2047 = 23 \cdot 89$, este número no es primo.
Respuesta: A) El resultado para $n = 11$ (que es $2047$)