Identificación de número primo por cantidad de divisores
Resumen inicial
Un número $p > 1$ se identifica como primo comprobando que la cantidad de sus divisores es exactamente dos: $|D(p)| = 2$.
Explicación en palabras simples
Para identificar si un número dado es primo, debemos probar si es posible dividirlo exactamente por algún número primo menor que su raíz cuadrada. Si ninguno de esos números primos lo divide exactamente, confirmamos que el número solo se puede dividir por 1 y por sí mismo, clasificándolo como primo.
Explicación formal
Para determinar la primalidad de un entero $n > 1$, se aplica el Test de Primalidad por División Finitiva:
$$n \text{ es primo} \iff \forall p_i \in \text{Primos}, \, p_i \le \sqrt{n} \implies n \not\equiv 0 \pmod{p_i}$$
Desglose de la fórmula:
- $p_i \le \sqrt{n}$: Conjunto acotado de números primos menores o iguales a la raíz cuadrada de $n$.
- $n \not\equiv 0 \pmod{p_i}$: Exigencia de que ningún primo de la prueba divida a $n$ de forma exacta.
Complemento didáctico: Para probar si 29 es primo, evaluamos primos $p \le \sqrt{29} \approx 5.38$ (primos 2, 3, 5). Como 29 no es divisible por 2, 3 ni 5, se concluye que 29 es primo.
La alternativa correcta es 'Hasta los primos menores o iguales a la raíz cuadrada de n (p ≤ √n)'.
Definiciones clave
- Test de primalidad por ensayo de división: Algoritmo que prueba divisibilidad solo por primos $p_i \le \sqrt{n}$.
- Conteo de divisores ($|D(n)|$): Función cardinal que debe ser estrictamente igual a 2 para garantizar primalidad.
Propiedades y relaciones importantes
- Eficiencia algorítmica: Reduce drásticamente las pruebas de divisibilidad necesarias.
Ejemplo guiado
Identifique si el número $37$ es primo probando divisores primos hasta $\sqrt{37}$.
- Paso 1: Estimar la cota superior: $\sqrt{37} \approx 6.08$, los primos a probar son $\{2, 3, 5\}$.
- Paso 2: Probar divisibilidad por 2: 37 es impar (no divisible).
- Paso 3: Probar divisibilidad por 3: $3+7=10$ (no divisible).
- Paso 4: Probar divisibilidad por 5: termina en 7 (no divisible).
- Conclusión: Como ningún primo $p \le \sqrt{37}$ divide a 37, 37 es un número primo.
La alternativa correcta es 'Exactamente 2 divisores (1 y 37)'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular la raíz cuadrada aproximada del número $n$.
- Paso 2: Listar todos los números primos $p_i \le \sqrt{n}$.
- Paso 3: Si ninguno de esos primos divide a $n$, concluir que $|D(n)| = 2$ y $n$ es primo.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Probar números compuestos como 4 u 8 al evaluar primalidad. Cómo corregirlo: Basta probar únicamente números primos, pues si un compuesto dividiera a $n$, su divisor primo también lo haría.
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Error 2: Probar divisibilidad por todos los enteros hasta $n$. Cómo corregirlo: La búsqueda se detiene en $\sqrt{n}$ por la propiedad de pares conjugados.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\sqrt{47} \approx 6.85$, primos a probar: 2, 3, 5.
- $D(49) = \{1, 7, 49\}$, por ende tiene 3 divisores y no es primo.
- $\sqrt{31} \approx 5.56$. Primos 2, 3, 5 no dividen a 31. $|D(31)| = 2$.
- No, $91 = 7 \cdot 13$, por lo que es divisible por 7.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Determinar la primalidad de un número natural mediante el criterio de cantidad de divisores y prueba acotada.
Comprobando que $\tau(n) = 2$ mediante la prueba de divisibilidad por todos los números primos $p \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ sin obtener ningún resto nulo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si sabemos que el número entero $X$ no es divisible por ningún número primo menor o igual a $7$, ¿cuál es el número más pequeño mayor que $1$ que podría ser compuesto?
Si no es divisible por ningún primo menor o igual a $7$ (es decir, no es divisible por $2$, $3$, $5$, $7$), los factores primos mínimos que podría tener son $11$ o superiores. El número compuesto más pequeño bajo estas condiciones es $11 \cdot 11 = 121$.
Respuesta: A) $121$ ($11 \cdot 11$)
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Para determinar si un número entero $N$ es primo, ¿hasta qué valor es suficiente probar si es divisible por algún número primo?
Si un número $N$ es compuesto, debe tener al menos un factor primo menor o igual a su raíz cuadrada. Por lo tanto, si no es divisible por ningún primo menor o igual a $\sqrt{N}$, entonces $N$ es primo.
Respuesta: A) Hasta la raíz cuadrada de $N$ ($\sqrt{N}$).
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Al buscar números primos en una lista del $1$ al $100$ con la Criba de Eratóstenes, ¿cuál es la primera serie de múltiplos que se tacha después de omitir el $1$ y marcar el $2$?
En la Criba de Eratóstenes, después de dejar el $2$ como primer número primo, se tachan todos sus múltiplos mayores que él ($4, 6, 8, 10...$) por ser compuestos.
Respuesta: A) Los múltiplos de $2$ (excepto el $2$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Utilizando la criba de Eratóstenes, ¿cuál de los siguientes números del $1$ al $30$ permanece sin tachar (es decir, es primo)?
El número $23$ es primo y permanece sin tachar. En cambio, $21$ ($3 \cdot 7$), $25$ ($5 \cdot 5$) y $27$ ($3 \cdot 9$) son compuestos y se tachan en la criba.
Respuesta: A) $23$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $119$ es primo?
Probamos la divisibilidad de $119$ por números primos. Al dividir por $7$: $119 \div 7 = 17$ de forma exacta. Por lo tanto, $119$ es compuesto.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que entre $1$ y $10$ hay exactamente cuatro números primos?
Los números primos entre $1$ y $10$ son $2$, $3$, $5$ y $7$. Esto hace un total de $4$ números.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que para verificar si el número $73$ es primo basta con comprobar que no sea divisible por $2, 3, 5$ y $7$?
Como $\sqrt{73} \approx 8.54$, los primos menores o iguales a la raíz son $2, 3, 5$ y $7$. Al no ser divisible por ninguno de ellos, concluimos que es primo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si aplicamos el método de verificar divisores primos hasta la raíz cuadrada para determinar si el número $143$ es primo, ¿por cuál de los siguientes números primos resulta ser divisible?
La raíz de $143$ es aproximadamente $11.95$. Los primos a verificar son $2, 3, 5, 7, 11$. Al dividir $143 \div 11 = 13$ de forma exacta. Por lo tanto, es divisible por $11$ y es compuesto.
Respuesta: A) $11$
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Un profesor pide a sus alumnos identificar los números primos en el rango del $40$ al $50$. Cuatro alumnos dan las siguientes respuestas. ¿Quién está en lo correcto?
Analicemos los números impares en ese rango:
- $41$ es primo.
- $43$ es primo.
- $45$ termina en $5$ (compuesto).
- $47$ es primo.
- $49 = 7 \cdot 7$ (compuesto).
Por lo tanto, los únicos números primos son $41, 43, 47$. Estela está en lo correcto.Respuesta: A) Estela dice que son $\{41, 43, 47\}$.
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Se define una secuencia de números de la forma $2^n - 1$ (conocidos como números de Mersenne). Si evaluamos esta expresión para los primeros cuatro números primos ($n = 2, 3, 5, 7$), ¿cuál de los resultados obtenidos NO es un número primo?
El enunciado pregunta por los resultados. Al evaluar para $n=11$, se obtiene $2^{11}-1 = 2047$. Como $2047 = 23 \cdot 89$, este número no es primo.
Respuesta: A) El resultado para $n = 11$ (que es $2047$)