Identificación de número compuesto por cantidad de divisores
Identificar números compuestos y listar la totalidad de sus divisores mediante la factorización o reglas de divisibilidad.
Introducción
¿Cómo podemos saber si un número es compuesto de forma rápida? Es como desarmar un juguete en piezas más pequeñas. Si puedes encontrar aunque sea una sola pieza de multiplicación (por ejemplo, ver que 20 se puede hacer como 4 por 5), ¡ya sabes que es un número compuesto!
Además, aprenderemos a hacer la lista de todas las "piezas" o divisores que lo componen de forma ordenada.
En esta lección descubrirás cómo identificar números compuestos y listar todos sus divisores sin que se te olvide ninguno.
Explicación
Identificar un número compuesto consiste en demostrar que tiene divisores adicionales además de la unidad y de sí mismo. Para ello, nos apoyamos en los criterios de divisibilidad básicos (por ejemplo, si termina en par y es mayor que 2, es compuesto; si la suma de cifras es múltiplo de 3 y es mayor que 3, es compuesto).
Una vez que determinamos que un número $N$ es compuesto, podemos encontrar la totalidad de sus divisores listándolos en parejas de factores. Por ejemplo, para el número $18$:
- $1 \cdot 18 = 18$ (Divisores: $1, 18$)
- $2 \cdot 9 = 18$ (Divisores: $2, 9$)
- $3 \cdot 6 = 18$ (Divisores: $3, 6$)
No hay más números enteros que multiplicados den $18$. Por lo tanto, el conjunto ordenado de divisores de $18$ es:
$$D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$$
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Aplica criterios de divisibilidad rápidos (2, 3, 5) para encontrar algún divisor intermedio. Si el número es par mayor que 2, o termina en 5 o 0 mayor que 5, es compuesto.
- Paso 2: Si no cumple criterios rápidos, verifica dividiendo por primos sucesivos (7, 11, etc.) hasta la raíz cuadrada del número.
- Paso 3: Para listar todos sus divisores, busca parejas de números que multiplicadas den el número original, comenzando desde el 1 en orden ascendente.
Ejemplos
1 Identifica si el número $24$ es compuesto y enlista todos sus divisores.
- Paso a: El número $24$ es par y mayor que $2$, por lo que es divisible por $2$. Esto prueba que es compuesto.
- Paso b: Buscamos las parejas de factores: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$.
- Paso c: Escribimos el conjunto ordenado de divisores de $24$: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.
2 Identifica si el número $35$ es compuesto y enlista todos sus divisores.
- Paso a: El número $35$ termina en $5$ y es mayor que $5$, por lo que es divisible por $5$. Esto demuestra que es compuesto.
- Paso b: Buscamos las parejas de factores: $1 \cdot 35$, $5 \cdot 7$.
- Paso c: Escribimos el conjunto ordenado de divisores de $35$: $\{1, 5, 7, 35\}$.
3 ¿Es el número $49$ compuesto y sus divisores incluyen al $7$?
- Probamos divisibilidad: $49$ no es divisible por $2$, $3$ ni $5$.
- Al probar por $7$: $49 \div 7 = 7$ (o $7 \cdot 7 = 49$). Esto demuestra que es compuesto.
- Sus divisores son $\{1, 7, 49\}$. Efectivamente, el $7$ forma parte de ellos.
4 ¿El número $20$ tiene exactamente $4$ divisores en total?
- El número $20$ es compuesto.
- Busquemos todas sus parejas de divisores: $1 \cdot 20$, $2 \cdot 10$, $4 \cdot 5$.
- Los divisores de $20$ son $\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$, lo que hace un total de $6$ divisores, no $4$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar incluir algunos divisores en la lista (generalmente las parejas del medio, como 4 y 6 en el caso de 24)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que si un número tiene muchos dígitos es compuesto, sin verificar divisores (existen primos muy grandes)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Omitir el propio número o el 1 en la lista final de divisores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'Repetir un divisor en el conjunto cuando el número es un cuadrado perfecto (ej': 'escribir el 7 dos veces en los divisores de 49).'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No usar un método ordenado (ir de extremos a centro) al buscar parejas de divisores, lo que facilita omitir elementos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para identificar un número compuesto, basta con encontrar un divisor distinto de 1 y de sí mismo. Una vez identificado, podemos listar todos sus divisores buscando parejas que multiplicadas den el número original.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para identificar si un número impar grande como $1,005$ es compuesto, ¿cuál es el método más rápido?
Como el número termina en $5$ y es mayor que $5$, el criterio de divisibilidad por $5$ nos asegura de forma inmediata que tiene a $5$ como divisor, lo que demuestra que es compuesto.
Respuesta: A) Aplicar el criterio de divisibilidad por $5$ (ver que termina en $5$).
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Si ordenamos de menor a mayor todos los divisores positivos de un número compuesto $N$, ¿cuál es siempre el primer y el último elemento de esta lista?
Para cualquier número entero positivo $N$, el divisor más pequeño es siempre el $1$ y el divisor más grande es siempre el propio $N$.
Respuesta: A) El $1$ y el propio $N$.
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Si un número compuesto tiene una cantidad impar de divisores positivos distintos, ¿qué tipo de número es?
Los divisores suelen ir en parejas ($a \cdot b = N$). La única forma de que haya un número impar de divisores es que uno de ellos se multiplique por sí mismo ($a^2 = N$), lo cual solo ocurre en los cuadrados perfectos (como $4, 9, 16$, etc.).
Respuesta: A) Un cuadrado perfecto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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De los siguientes conjuntos, ¿cuál contiene la lista completa y correcta de los divisores del número compuesto $18$?
Las parejas que multiplicadas dan $18$ son $1 \cdot 18$, $2 \cdot 9$ y $3 \cdot 6$. El conjunto completo es $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
Respuesta: A) $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $93$ es primo?
Si aplicamos el criterio de divisibilidad por $3$ a $93$, sumamos sus cifras: $9+3=12$. Como $12$ es múltiplo de $3$, el número $93$ es divisible por $3$ ($93 = 3 \cdot 31$) y por lo tanto es compuesto.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el conjunto de los divisores de $25$ es $\{1, 5, 25\}$, por lo que tiene un número impar de divisores?
Los divisores de $25$ son $\{1, 5, 25\}$ (tres divisores). Al ser $25$ un cuadrado perfecto ($5^2$), tiene una cantidad impar de divisores.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $45$ es compuesto y tiene exactamente seis divisores positivos distintos?
Las parejas de factores de $45$ son $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$. Sus divisores son $\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$, lo que suma exactamente seis divisores.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se sabe que un número compuesto $A$ tiene exactamente tres divisores distintos, y otro número compuesto $B$ tiene exactamente tres divisores distintos. Si ambos números son menores que $30$, ¿cuál es el mayor valor posible para la suma $A + B$?
Un número que tiene exactamente tres divisores es el cuadrado de un número primo. Los cuadrados de primos menores que $30$ son: $2^2 = 4$, $3^2 = 9$ y $5^2 = 25$. Los dos mayores valores posibles menores que $30$ son $9$ y $25$. Su suma es $9 + 25 = 34$.
Respuesta: A) $34$
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Una banquetera tiene $36$ postres idénticos y desea distribuirlos en bandejas de modo que cada bandeja tenga el mismo número de postres, sin que sobre ninguno. Si no se permite usar bandejas con menos de $3$ postres ni bandejas con más de $12$ postres, ¿de cuántas formas distintas puede organizar los postres?
Buscamos los divisores de $36$: $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$. Las opciones para la cantidad de postres por bandeja deben estar entre $3$ y $12$ inclusive. Los divisores en este rango son: $3$, $4$, $6$, $9$, $12$. Esto nos da exactamente $5$ opciones distintas (formas) de organización.
Respuesta: A) $5$ formas
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Se tiene un número de dos cifras de la forma $X4$. Si se sabe que este número es compuesto y que la suma de todos sus divisores positivos (excluyendo al propio número) es mayor que el número mismo, ¿cuál de los siguientes números podría ser?
Evaluemos las opciones:
- Para $14$, divisores propios: $\{1, 2, 7\}$, suma $= 10 < 14$.
- Para $24$, divisores propios: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$, suma $= 36 > 24$ (se cumple).
- Para $34$, divisores propios: $\{1, 2, 17\}$, suma $= 20 < 34$.
- Para $44$, divisores propios: $\{1, 2, 4, 11, 22\}$, suma $= 40 < 44$.Respuesta: A) $24$