Identificación de número compuesto por cantidad de divisores
Resumen inicial
Un entero $c > 1$ se identifica como compuesto si posee al menos tres divisores positivos: $|D(c)| \ge 3$.
Explicación en palabras simples
Para probar si un número es compuesto, basta con encontrar un solo divisor propio adicional además de 1 y de sí mismo. Al hallar cualquier tercer número que lo divida de forma exacta, queda inmediatamente demostrado que el número es compuesto.
Explicación formal
Para un entero $n > 1$, la Identificación de Compuesto se satisface si existe al menos un entero $d$ tal que:
$$1 < d < n \quad \land \quad d \mid n \implies |D(n)| \ge 3$$
Desglose de la fórmula:
- $1 < d < n$: Divisor propio o estricto del número $n$.
- $d \mid n$: División exacta sin residuo en el algoritmo euclidiano.
- $|D(n)| \ge 3$: Cardinalidad del conjunto de divisores suficiente para catalogar como compuesto.
Complemento didáctico: Si al probar la divisibilidad por los primos $p \le \sqrt{n}$ se encuentra al menos uno que divida a $n$, el número queda identificado inmediatamente como compuesto.
La alternativa correcta es 'Encontrar al menos un divisor propio d tal que 1 < d < n'.
Definiciones clave
- Divisor propio: Todo divisor $d$ de $n$ que cumple la desigualdad $1 < d < n$.
- Identificación por divisor propio: Criterio que prueba composicionalidad al hallar un tercer divisor.
Propiedades y relaciones importantes
- Criterios de divisibilidad: Herramientas rápidas para hallar divisores propios en números grandes.
Ejemplo guiado
Demuestre que el número $91$ es compuesto identificando al menos un divisor propio.
- Paso 1: Probar criterios rápidos: 91 es impar (no div por 2), suma de dígitos $9+1=10$ (no div por 3), no termina en 0 o 5 (no div por 5).
- Paso 2: Probar divisibilidad por el primo 7: $91 : 7 = 13$ exacto.
- Paso 3: Identificar el divisor propio encontrado: $d = 7$ cumple $1 < 7 < 91$.
- Conclusión: Como se halló el divisor propio 7, $91$ es un número compuesto ($D(91) = \{1, 7, 13, 91\}$).
La alternativa correcta es '7 (o 13)'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar criterios de divisibilidad o pruebas de división por primos $p \le \sqrt{n}$.
- Paso 2: Si se encuentra al menos un divisor exacto $d$ con $1 < d < n$, detener la prueba.
- Paso 3: Concluir que el número es compuesto por poseer 3 o más divisores.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que para probar que un número es compuesto hay que encontrar TODOS sus divisores. Cómo corregirlo: Basta con encontrar UN SOLO divisor propio para clasificarlo como compuesto.
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Error 2: Pensar que si un número no termina en 2, 3 o 5 debe ser primo. Cómo corregirlo: Puede ser divisible por 7, 11, 13, etc. (como $91 = 7 \cdot 13$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $8+7=15$, por criterio del 3 es divisible por 3, lo que demuestra que es compuesto.
- $51 : 3 = 17$ exacto, por ende es un número compuesto.
- Sí, $119 : 7 = 17$ exacto ($119 = 7 \cdot 17$).
- Sí, poseer 3 o más divisores define a los números compuestos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Identificar números compuestos mediante la condición de cardinalidad de divisores.
Verificando que $\tau(n) \ge 3$ al encontrar al menos un divisor propio $d \in (1, n)$, o aplicando la fórmula de cantidad de divisores $\tau(n) = (a+1)(b+1) \ge 3$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para identificar si un número impar grande como $1,005$ es compuesto, ¿cuál es el método más rápido?
Como el número termina en $5$ y es mayor que $5$, el criterio de divisibilidad por $5$ nos asegura de forma inmediata que tiene a $5$ como divisor, lo que demuestra que es compuesto.
Respuesta: A) Aplicar el criterio de divisibilidad por $5$ (ver que termina en $5$).
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Si ordenamos de menor a mayor todos los divisores positivos de un número compuesto $N$, ¿cuál es siempre el primer y el último elemento de esta lista?
Para cualquier número entero positivo $N$, el divisor más pequeño es siempre el $1$ y el divisor más grande es siempre el propio $N$.
Respuesta: A) El $1$ y el propio $N$.
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Si un número compuesto tiene una cantidad impar de divisores positivos distintos, ¿qué tipo de número es?
Los divisores suelen ir en parejas ($a \cdot b = N$). La única forma de que haya un número impar de divisores es que uno de ellos se multiplique por sí mismo ($a^2 = N$), lo cual solo ocurre en los cuadrados perfectos (como $4, 9, 16$, etc.).
Respuesta: A) Un cuadrado perfecto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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De los siguientes conjuntos, ¿cuál contiene la lista completa y correcta de los divisores del número compuesto $18$?
Las parejas que multiplicadas dan $18$ son $1 \cdot 18$, $2 \cdot 9$ y $3 \cdot 6$. El conjunto completo es $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
Respuesta: A) $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $93$ es primo?
Si aplicamos el criterio de divisibilidad por $3$ a $93$, sumamos sus cifras: $9+3=12$. Como $12$ es múltiplo de $3$, el número $93$ es divisible por $3$ ($93 = 3 \cdot 31$) y por lo tanto es compuesto.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el conjunto de los divisores de $25$ es $\{1, 5, 25\}$, por lo que tiene un número impar de divisores?
Los divisores de $25$ son $\{1, 5, 25\}$ (tres divisores). Al ser $25$ un cuadrado perfecto ($5^2$), tiene una cantidad impar de divisores.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $45$ es compuesto y tiene exactamente seis divisores positivos distintos?
Las parejas de factores de $45$ son $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$. Sus divisores son $\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$, lo que suma exactamente seis divisores.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se sabe que un número compuesto $A$ tiene exactamente tres divisores distintos, y otro número compuesto $B$ tiene exactamente tres divisores distintos. Si ambos números son menores que $30$, ¿cuál es el mayor valor posible para la suma $A + B$?
Un número que tiene exactamente tres divisores es el cuadrado de un número primo. Los cuadrados de primos menores que $30$ son: $2^2 = 4$, $3^2 = 9$ y $5^2 = 25$. Los dos mayores valores posibles menores que $30$ son $9$ y $25$. Su suma es $9 + 25 = 34$.
Respuesta: A) $34$
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Una banquetera tiene $36$ postres idénticos y desea distribuirlos en bandejas de modo que cada bandeja tenga el mismo número de postres, sin que sobre ninguno. Si no se permite usar bandejas con menos de $3$ postres ni bandejas con más de $12$ postres, ¿de cuántas formas distintas puede organizar los postres?
Buscamos los divisores de $36$: $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$. Las opciones para la cantidad de postres por bandeja deben estar entre $3$ y $12$ inclusive. Los divisores en este rango son: $3$, $4$, $6$, $9$, $12$. Esto nos da exactamente $5$ opciones distintas (formas) de organización.
Respuesta: A) $5$ formas
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Se tiene un número de dos cifras de la forma $X4$. Si se sabe que este número es compuesto y que la suma de todos sus divisores positivos (excluyendo al propio número) es mayor que el número mismo, ¿cuál de los siguientes números podría ser?
Evaluemos las opciones:
- Para $14$, divisores propios: $\{1, 2, 7\}$, suma $= 10 < 14$.
- Para $24$, divisores propios: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$, suma $= 36 > 24$ (se cumple).
- Para $34$, divisores propios: $\{1, 2, 17\}$, suma $= 20 < 34$.
- Para $44$, divisores propios: $\{1, 2, 4, 11, 22\}$, suma $= 40 < 44$.Respuesta: A) $24$