Definición de número primo
Resumen inicial
Un número primo es un entero mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos distintos: el 1 y sí mismo.
Explicación en palabras simples
Los números primos son los bloques fundamentales o 'átomos' con los que se construyen todos los demás números enteros mediante la multiplicación. Un número es primo cuando es imposible descomponerlo o armarlo arreglando objetos en forma de rectángulo lleno que no sea una sola fila de largo unitario.
Explicación formal
Un entero $p \in \mathbb{N}$ se define formalmente como un Número Primo si cumple simultáneamente:
$$p > 1 \quad \land \quad D(p) = \{1, p\}$$
Desglose de la fórmula:
- $p > 1$: Condición de magnitud estricta que excluye al $1$, a los negativos y al cero.
- $D(p)$: Conjunto de divisores positivos de $p$.
- $|D(p)| = 2$: Existencia unívoca y exacta de dos divisores distintos (el $1$ y el propio $p$).
Complemento didáctico: El número 2 es el único número primo que también es par. Todos los demás números primos son impares.
La alternativa correcta es 'Que sea mayor que 1 y tenga exactamente dos divisores distintos (1 y p)'.
Definiciones clave
- Número primo: Entero $p > 1$ cuyos únicos divisores positivos son el $1$ y $p$.
- Primalidad: Propiedad indivisible de un número en la multiplicación.
Propiedades y relaciones importantes
- Infinitud de primos: Existen infinitos números primos (Teorema de Euclides).
- Único primo par: El número $2$ es el primer y único primo par.
Ejemplo guiado
Verifique si el número $13$ cumple la definición formal de número primo evaluando su conjunto de divisores.
- Paso 1: Comprobar la restricción inicial: $13 > 1$ (cumplido).
- Paso 2: Encontrar todos los divisores positivos de 13: $D(13) = \{1, 13\}$.
- Paso 3: Contar la cantidad de divisores: $|D(13)| = 2$.
- Conclusión: Como $13 > 1$ y sus únicos divisores son 1 y 13, $13$ es un número primo.
La alternativa correcta es 'Porque es mayor que 1 y sus únicos divisores positivos son el 1 y el 13'.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar que el número sea mayor que 1.
- Paso 2: Calcular el conjunto de divisores positivos del número.
- Paso 3: Concluir que es primo si el conjunto contiene exactamente dos elementos ($1$ y el número).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Considerar al número 1 como un número primo. Cómo corregirlo: El 1 tiene un solo divisor ($D(1)=\{1\}$); la definición exige EXACTAMENTE dos divisores distintos.
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Error 2: Pensar que todos los números impares son primos (ej: creer que 9 u 15 son primos). Cómo corregirlo: 9 es divisible por 3 y 15 por 5, por lo que no son primos.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $D(17) = \{1, 17\}$ (exactamente 2 divisores), por ende 17 es primo.
- El 2 es el único entero par cuyo conjunto de divisores es $\{1, 2\}$.
- Sí, sus únicos divisores positivos son 1 y 23.
- No, 21 es divisible por 3 y por 7 ($D(21)=\{1, 3, 7, 21\}$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Definir rigurosamente y reconocer un número primo en el conjunto de los números naturales.
Verificando que $p > 1$ y que su conjunto de divisores positivos sea exactamente de dos elementos distintos $D(p) = \{1, p\}$, reconociendo al 2 como el único primo par.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un número primo $p$ se divide por cualquier número entero diferente de $1$ y de $p$, ¿cuál es el resultado?
Dado que un número primo no tiene más divisores enteros que el $1$ y él mismo, cualquier división por otro entero no será exacta y dejará un residuo.
Respuesta: A) La división no es exacta (el residuo es distinto de cero).
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre el número $2$?
El número $2$ es el menor de los números primos y el único de ellos que es par. Todos los demás números pares mayores que $2$ tienen al menos tres divisores ($1$, $2$ y ellos mismos), por lo que son compuestos.
Respuesta: A) Es el único número primo par y el más pequeño de los números primos.
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¿Cuál es la definición matemática exacta de un número primo?
Un número primo es por definición un número entero positivo mayor que $1$ que tiene exactamente dos divisores distintos: el $1$ y él mismo.
Respuesta: A) Es un número natural mayor que $1$ que tiene exactamente dos divisores positivos distintos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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De la siguiente lista de números: $1, 2, 9, 15$, ¿cuál de ellos cumple con la definición de número primo?
El $2$ es primo (divisores: $\{1, 2\}$). El $1$ solo tiene un divisor, el $9$ tiene tres divisores $\{1, 3, 9\}$, y el $15$ tiene cuatro divisores $\{1, 3, 5, 15\}$.
Respuesta: A) $2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $17$ es un número primo?
Los únicos divisores positivos de $17$ son $1$ y $17$. Por lo tanto, cumple con la definición de número primo.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que todos los números impares mayores que 1 son primos?
Existen muchos números impares mayores que 1 que no son primos porque tienen más de dos divisores. Por ejemplo, el $9$ (divisible por $3$) o el $15$ (divisible por $3$ y $5$).
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número de divisores de cualquier número primo es siempre igual a $2$?
Por definición, un número primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos: el $1$ y él mismo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $a$ y $b$ son números primos distintos, ¿cuántos divisores positivos tiene el producto $a \cdot b$?
Si $a$ y $b$ son dos números primos distintos, los divisores positivos de su producto $a \cdot b$ son: $1$, $a$, $b$ y $a \cdot b$. Esto hace un total de exactamente $4$ divisores.
Respuesta: A) $4$
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Sea $p$ un número primo. Si se define el conjunto de todos sus divisores positivos como $D(p)$, ¿cuál es la suma de los elementos de $D(p)$?
El conjunto de divisores de un número primo $p$ es $D(p) = \{1, p\}$. La suma de sus elementos es $1 + p$ (o $p + 1$).
Respuesta: A) $p + 1$
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En una clase de matemáticas se propone que la suma de dos números primos cualesquiera siempre da como resultado un número par. ¿Cuál de los siguientes contraejemplos demuestra que esta propuesta es falsa?
Como el $2$ es un primo par y todos los demás primos son impares, sumando $2$ con cualquier otro primo (como el $3$) obtendremos un número impar ($2+3=5$). Este contraejemplo refuta la hipótesis.
Respuesta: A) La suma de $2$ y $3$ es $5$, que es un número impar.