Definición de número primo
Definir el concepto de número primo como aquel número natural que tiene exactamente dos divisores distintos.
Introducción
Imagina que tienes bloques de construcción y quieres armar rectángulos. Si tienes 4 bloques, puedes ordenarlos en una fila de 4 o en dos filas de 2. Pero si tienes 5 bloques, la única forma de acomodarlos en un rectángulo perfecto es en una sola fila de 5.
En matemáticas, los números como el 5, que no se pueden "desarmar" en otras formas rectangulares, se llaman números primos. Son como los ladrillos fundamentales de todos los demás números.
En esta lección aprenderás a reconocer estos bloques de construcción de las matemáticas.
Explicación
Un número primo es un número entero positivo $p > 1$ cuyos únicos divisores positivos son exactamente el $1$ y el propio $p$. Si un número tiene más divisores, no es primo.
Por convención matemática, el número $1$ no es un número primo, porque no tiene dos divisores distintos (su único divisor es él mismo). El número primo más pequeño y el único que es par es el $2$.
La lista de los primeros números primos es:
$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...$$
Los números primos son de extrema importancia en matemáticas (especialmente en la Teoría de Números y la Criptografía) porque, según el Teorema Fundamental de la Aritmética, cualquier número entero mayor que 1 puede expresarse de forma única como producto de números primos (salvo por el orden de los factores).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica si el número es mayor que 1. Si es 1 o menor, no es primo.
- Paso 2: Encuentra todos los divisores enteros positivos del número dividiéndolo por los números naturales menores o iguales a él.
- Paso 3: Cuenta el número de divisores. Si tiene exactamente dos divisores (el 1 y el mismo número), es un número primo. Si tiene más o menos, no es primo.
Ejemplos
1 Determina si el número $7$ es un número primo.
- Paso a: Evaluamos los divisores del número $7$. Los únicos números naturales que dividen de forma exacta a $7$ son el $1$ y el $7$.
- Paso b: Como el número $7$ tiene exactamente dos divisores ($1$ y $7$), concluimos que $7$ es un número primo.
2 Comprueba si el número $9$ es un número primo.
- Paso a: Buscamos los divisores de $9$. Intentamos dividir $9$ por los números menores: es divisible por $1$, por $3$ ($3 \cdot 3 = 9$) y por $9$.
- Paso b: Hacemos el recuento: sus divisores son $\{1, 3, 9\}$.
- Paso c: Al tener tres divisores (más de dos), el número $9$ no es primo (es un número compuesto).
3 ¿Es el número $2$ un número primo?
- El número $2$ es mayor que $1$.
- Sus únicos divisores enteros positivos son el $1$ y el $2$ ($2 \div 1 = 2$ y $2 \div 2 = 1$).
- Dado que tiene exactamente dos divisores, el $2$ es un número primo (de hecho, es el único primo par).
4 ¿Es el número $15$ un número primo?
- Los divisores de $15$ son $1$, $3$, $5$ y $15$.
- Como tiene cuatro divisores distintos en total, no cumple la definición de número primo (que exige exactamente dos divisores).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Considerar al 1 como un número primo. El 1 solo tiene un divisor, por lo que no cumple con tener exactamente dos divisores distintos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'Creer que todos los números impares son primos (ej': '9, 15 y 21 son impares pero no son primos porque tienen más de dos divisores).'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que no existen números primos pares (el 2 es par y es primo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir divisores con múltiplos al analizar si un número es primo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la definición de número primo se restringe a los números enteros positivos mayores que 1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: el número 1 y sí mismo. Ejemplos de números primos son el 2, 3, 5, 7 y 11.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un número primo $p$ se divide por cualquier número entero diferente de $1$ y de $p$, ¿cuál es el resultado?
Dado que un número primo no tiene más divisores enteros que el $1$ y él mismo, cualquier división por otro entero no será exacta y dejará un residuo.
Respuesta: A) La división no es exacta (el residuo es distinto de cero).
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre el número $2$?
El número $2$ es el menor de los números primos y el único de ellos que es par. Todos los demás números pares mayores que $2$ tienen al menos tres divisores ($1$, $2$ y ellos mismos), por lo que son compuestos.
Respuesta: A) Es el único número primo par y el más pequeño de los números primos.
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¿Cuál es la definición matemática exacta de un número primo?
Un número primo es por definición un número entero positivo mayor que $1$ que tiene exactamente dos divisores distintos: el $1$ y él mismo.
Respuesta: A) Es un número natural mayor que $1$ que tiene exactamente dos divisores positivos distintos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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De la siguiente lista de números: $1, 2, 9, 15$, ¿cuál de ellos cumple con la definición de número primo?
El $2$ es primo (divisores: $\{1, 2\}$). El $1$ solo tiene un divisor, el $9$ tiene tres divisores $\{1, 3, 9\}$, y el $15$ tiene cuatro divisores $\{1, 3, 5, 15\}$.
Respuesta: A) $2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $17$ es un número primo?
Los únicos divisores positivos de $17$ son $1$ y $17$. Por lo tanto, cumple con la definición de número primo.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que todos los números impares mayores que 1 son primos?
Existen muchos números impares mayores que 1 que no son primos porque tienen más de dos divisores. Por ejemplo, el $9$ (divisible por $3$) o el $15$ (divisible por $3$ y $5$).
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número de divisores de cualquier número primo es siempre igual a $2$?
Por definición, un número primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos: el $1$ y él mismo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $a$ y $b$ son números primos distintos, ¿cuántos divisores positivos tiene el producto $a \cdot b$?
Si $a$ y $b$ son dos números primos distintos, los divisores positivos de su producto $a \cdot b$ son: $1$, $a$, $b$ y $a \cdot b$. Esto hace un total de exactamente $4$ divisores.
Respuesta: A) $4$
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Sea $p$ un número primo. Si se define el conjunto de todos sus divisores positivos como $D(p)$, ¿cuál es la suma de los elementos de $D(p)$?
El conjunto de divisores de un número primo $p$ es $D(p) = \{1, p\}$. La suma de sus elementos es $1 + p$ (o $p + 1$).
Respuesta: A) $p + 1$
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En una clase de matemáticas se propone que la suma de dos números primos cualesquiera siempre da como resultado un número par. ¿Cuál de los siguientes contraejemplos demuestra que esta propuesta es falsa?
Como el $2$ es un primo par y todos los demás primos son impares, sumando $2$ con cualquier otro primo (como el $3$) obtendremos un número impar ($2+3=5$). Este contraejemplo refuta la hipótesis.
Respuesta: A) La suma de $2$ y $3$ es $5$, que es un número impar.