Cálculo del m.c.m. mediante tabla de descomposición simultánea
Resumen inicial
El m.c.m. por tabla simultánea divide progresivamente los números por primos hasta reducir todas las columnas a 1.
Explicación en palabras simples
El método de la tabla simultánea nos permite calcular el m.c.m. de varios números al mismo tiempo. Escribimos los números en fila a la izquierda, los vamos dividiendo entre números primos a la derecha (si un número no es divisible, se baja igual), y al llegar a puros unos abajo, multiplicamos todos los primos de la derecha.
Explicación formal
En la Tabla de Factorización Simultánea, para un vector de números $(a_1, a_2, \dots, a_k)$, se aplican divisiones por primos $p_j$ produciendo la matriz de cocientes hasta que:
$$\text{Fila final: } (1, 1, \dots, 1) \implies \operatorname{mcm}(a_1, \dots, a_k) = \prod_{j=1}^m p_j$$
Desglose de la fórmula:
- $p_j$: Primo que divide a al menos una de las entradas de la fila actual.
- Regla de descenso: Si $p_j \nmid a_i$, el valor $a_i$ se copia intacto a la siguiente fila.
- $\prod p_j$: El m.c.m. es la multiplicación de todos los primos anotados en la columna derecha.
Complemento didáctico: No se exige que el primo divida a todos los números a la vez; basta que divida a al menos uno de ellos.
La alternativa correcta es 'Se baja igual a la siguiente fila sin modificarlo'.
Definiciones clave
- Tabla simultánea de m.c.m.: Algoritmo que reduce todos los números a 1 en paralelo dividiendo por primos.
Ejemplo guiado
Calcule el $\operatorname{mcm}(12, 15)$ mediante la tabla de descomposición simultánea.
- Paso 1: Fila 1 (12, 15). Dividir por 2: 12 da 6, 15 baja igual $\implies$ Fila 2 (6, 15). Primo: 2.
- Paso 2: Fila 2 (6, 15). Dividir por 2: 6 da 3, 15 baja igual $\implies$ Fila 3 (3, 15). Primo: 2.
- Paso 3: Fila 3 (3, 15). Dividir por 3: 3 da 1, 15 da 5 $\implies$ Fila 4 (1, 5). Primo: 3.
- Paso 4: Fila 4 (1, 5). Dividir por 5: 1 baja igual, 5 da 1 $\implies$ Fila 5 (1, 1). Primo: 5.
- Paso 5: Multiplicar los primos anotados a la derecha: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
- Conclusión: $\operatorname{mcm}(12, 15) = 60$.
La alternativa correcta es '60'.
Procedimiento
- Paso 1: Colocar los números en fila separados por comas.
- Paso 2: Dividir por un primo que divida a al menos uno de los números; bajar igual a los que no sean divisibles.
- Paso 3: Continuar dividiendo hasta que todas las columnas contengan el valor 1.
- Paso 4: Multiplicar todos los primos de la columna derecha para obtener el m.c.m.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
-
Error 1: Exigir que el primo divida a TODOS los números para poder usarlo. Cómo corregirlo: En el m.c.m. basta con que el primo divida a AL MENOS UNO de los números.
-
Error 2: Olvidar bajar un número que no se dividió. Cómo corregirlo: Si un número no es divisible, se escribe exactamente igual en la fila inferior.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Primos usados: 2, 2, 2, 5. Producto: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 40$.
- El producto de todos los primos utilizados en la tabla da el m.c.m.
- Sí, la fila final debe ser $(1, 1, \dots, 1)$.
- No, se deben utilizar únicamente números primos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales mediante la tabla de descomposición simultánea.
Dividiendo en paralelo por el menor factor primo que divida al menos a uno de los términos, bajando intactos los no divisibles hasta que todos los cocientes alcancen 1, y multiplicando la columna derecha.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si en un paso del método de divisiones simultáneas elegimos el divisor primo $3$, y tenemos en la columna izquierda los números $5$ y $9$, ¿cómo se reescriben en la siguiente fila?
En las divisiones simultáneas, los números que no se pueden dividir de forma exacta por el primo elegido se conservan sin cambios (se bajan igual), mientras que los divisibles se reemplazan por su cociente.
Respuesta: A) $5$ y $3$, porque $5$ no es divisible por $3$ (se baja igual) y $9 \div 3 = 3$.
-
¿Cómo se obtiene el valor final del MCM una vez completada la tabla de divisiones simultáneas?
El MCM es el producto de todos los divisores primos utilizados durante el procedimiento, los cuales se registran en la columna de la derecha.
Respuesta: A) Multiplicando todos los números primos escritos en la columna de la derecha.
-
En el método de la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM, ¿cuándo se da por terminado el proceso?
El método concluye cuando todos los números iniciales colocados a la izquierda se han dividido completamente hasta reducirse todos a $1$.
Respuesta: A) Cuando todos los números de la columna izquierda se reducen a $1$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Considera la siguiente tabla de divisiones simultáneas incompleta para calcular el MCM de $6$ y $15$:
$$\begin{array}{cc|l} 6 & 15 & 2 \ 3 & 15 & 3 \ 1 & 5 & 5 \ 1 & 1 & \ \end{array}$$
¿Cuál es el MCM resultante?Los factores primos en la columna derecha de la tabla son $2, 3$ y $5$. El MCM es su producto: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Respuesta: A) $30$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es verdadero que al calcular el MCM de $10$ y $25$ por divisiones simultáneas, la columna derecha contiene los factores primos $2$, $5$ y $5$?
La tabla es:
- $10, 25$ | div por $2 \Rightarrow 5, 25$
- $5, 25$ | div por $5 \Rightarrow 1, 5$
- $1, 5$ | div por $5 \Rightarrow 1, 1$
Los factores de la derecha son $2, 5, 5$. El MCM es $2 \cdot 5 \cdot 5 = 50$. La afirmación es verdadera.Respuesta: Verdadero
-
¿Es verdadero que si colocamos un divisor no primo como el $4$ a la derecha de la tabla de divisiones simultáneas, el cálculo del MCM será siempre correcto?
El método exige usar exclusivamente divisores que sean números primos. Colocar números compuestos puede omitir factores primos necesarios o duplicarlos incorrectamente, alterando el resultado del MCM.
Respuesta: Falso
-
¿Es verdadero que si aplicamos el método de la tabla a los números $8$, $12$ y $16$, todos deben alcanzar el valor $1$ a la izquierda para terminar?
Sí, en la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM, todos los números del conjunto a la izquierda de la línea vertical deben reducirse por completo a $1$ para finalizar el algoritmo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un atleta entrena en una pista de atletismo. El atleta A tarda $60$ segundos en dar una vuelta completa, el atleta B tarda $80$ segundos, y el atleta C tarda $90$ segundos. Si los tres inician el entrenamiento juntos, ¿cuántos segundos transcurrirán hasta que vuelvan a cruzar juntos la línea de meta?
Calculamos el MCM de $60, 80$ y $90$ por divisiones simultáneas. Dividimos sucesivamente por $2, 2, 2, 2, 3, 3, 5$. La columna de divisores primos es $2, 2, 2, 2, 3, 3, 5$, cuyo producto es $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$ segundos.
Respuesta: A) $720$ segundos
-
Un técnico de mantenimiento debe programar las revisiones de tres máquinas industriales. La máquina X se revisa cada $18$ días, la máquina Y cada $24$ días, y la máquina Z cada $36$ días. Si las tres máquinas se revisaron hoy, ¿en cuántos días más coincidirán sus revisiones por primera vez?
Buscamos el MCM de $18, 24$ y $36$ mediante divisiones simultáneas. Dividimos por $2$ (quedando $9, 12, 18$), por $2$ ($9, 6, 9$), por $2$ ($9, 3, 9$), por $3$ ($3, 1, 3$) y por $3$ ($1, 1, 1$). El MCM es $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ días.
Respuesta: A) $72$ días
-
Si se sabe que la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM de dos números $A$ y $14$ entrega en la columna derecha los factores primos $2, 3, 3, 7$, y que $A$ es divisible por $9$, ¿cuál de los siguientes es el menor valor posible para el número $A$?
El MCM es el producto de los factores: $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$. Dado que $A$ es divisible por $9 = 3^2$, y $A$ debe ser divisor de $126$, probemos las opciones: $18$ es divisible por $9$ ($18 = 9 \cdot 2$). Si $A=18$, el MCM entre $18$ y $14$ es $126$, lo cual coincide con la tabla. Por tanto, el menor valor posible para $A$ de las opciones es $18$.
Respuesta: A) $18$