Cálculo del m.c.m. mediante tabla de descomposición simultánea
Calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números usando el método de la tabla de divisiones simultáneas.
Introducción
¿Qué pasaría si tuvieras que calcular el MCM de números grandes como 24, 36 y 40? Si hicieras listas de múltiplos, ¡podrías pasar horas escribiendo números larguísimos antes de encontrar uno en común!
Para evitar este trabajo gigante, los matemáticos inventaron un súper truco: el método de la tabla de divisiones simultáneas. En lugar de calcular cada número por separado, los pones todos juntos en una tabla y los divides al mismo tiempo usando números primos.
Es un proceso súper rápido, directo y automático. Cuando todos los números de la izquierda llegan a 1, multiplicas todos los números primos de la derecha y, ¡pum!, tienes tu MCM de inmediato.
Explicación
El Método de la Tabla de Divisiones Simultáneas es el algoritmo operacional más práctico para encontrar el MCM de dos o más números.
Cómo construir la tabla:
1. Escribe los números en una fila horizontal a la izquierda de una línea vertical.
2. Busca un número primo ($2, 3, 5, 7, \dots$) que divida a al menos uno de los números. Escríbelo a la derecha de la línea.
3. Divide los números de la izquierda que sean divisibles exactamente por este primo y escribe los cocientes abajo. Si alguno no es divisible, simplemente cópialo igual en la fila de abajo.
4. Repite el proceso con la nueva fila de números hasta que todos se hayan reducido a $1$.
5. Multiplica todos los números primos que escribiste en la columna derecha. El producto obtenido es el MCM.
Ejemplo práctico: Calcular el MCM de $12, 18$ y $20$:
$$\begin{array}{ccc|l} 12 & 18 & 20 & 2 \text{ (dividimos por 2)}\\ 6 & 9 & 10 & 2 \text{ (dividimos por 2; el 9 se baja igual)}\\ 3 & 9 & 5 & 3 \text{ (dividimos por 3; el 5 se baja igual)}\\ 1 & 3 & 5 & 3 \text{ (dividimos por 3; el 1 y 5 se bajan)}\\ 1 & 1 & 5 & 5 \text{ (dividimos por 5)}\\ 1 & 1 & 1 & \\ \end{array}$$
El proceso termina porque todos los números llegaron a $1$.
Multiplicamos los factores de la derecha:
$$\text{MCM}(12, 18, 20) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$$
El MCM es $180$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Coloca los números a la izquierda de una línea vertical, separados por un espacio.
- Paso 2: Escribe a la derecha de la línea el menor número primo que divida exactamente a al menos uno de los números de la izquierda.
- Paso 3: Divide los números correspondientes y escribe los cocientes abajo. Copia igual aquellos números que no se dividieron de forma exacta.
- Paso 4: Repite los pasos 2 y 3 hasta que todos los números de la columna izquierda se conviertan en 1.
- Paso 5: Multiplica todos los factores primos de la derecha para obtener el MCM final.
Ejemplos
1 Calcula el MCM de $8$ y $12$ utilizando la tabla de divisiones simultáneas.
- Paso a: Escribimos $8$ y $12$ a la izquierda. Dividimos por el primo $2$: los cocientes son $4$ y $6$. Escribimos $2$ a la derecha.
- Paso b: Dividimos $4$ y $6$ por el primo $2$: los cocientes son $2$ y $3$. Escribimos $2$ a la derecha.
- Paso c: Dividimos por el primo $2$: el $2$ queda en $1$, y el $3$ se baja igual por no ser divisible. Escribimos $2$ a la derecha.
- Paso d: Dividimos por el primo $3$: el $3$ queda en $1$. Escribimos $3$ a la derecha. Ahora todos son $1$.
- Paso e: Multiplicamos los factores de la derecha: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 = 24$. Así, $\text{MCM}(8, 12) = 24$.
2 Determina el MCM entre $15$ y $25$ usando divisiones simultáneas.
- Paso a: Colocamos $15$ and $25$ a la izquierda. Ninguno es divisible por $2$. Dividimos por $3$: el $15$ pasa a $5$ y el $25$ se baja igual. Escribimos $3$ a la derecha.
- Paso b: Ahora tenemos $5$ y $25$. Dividimos por el primo $5$: quedan en $1$ y $5$, respectivamente. Escribimos $5$ a la derecha.
- Paso c: Volvemos a dividir por $5$: el $5$ pasa a $1$. Escribimos $5$ a la derecha. Ambos llegaron a $1$.
- Paso d: Multiplicamos la columna derecha: $3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^2 = 75$. El MCM es $75$.
3 En la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM, ¿debemos bajar igual los números que no son divisibles por el factor primo elegido?
- En las divisiones simultáneas, solo se dividen aquellos números que tienen división exacta por el número primo elegido.
- Si un número no es divisible exactamente, simplemente se copia igual en la línea de abajo para ser dividido en los siguientes pasos.
4 Si al calcular el MCM de $9$ y $15$, la columna de la derecha tiene los números $3$, $3$ y $5$, ¿es $45$ el MCM?
- El producto de los números primos obtenidos en la columna derecha es $3 \cdot 3 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
- Como este producto representa al MCM de los números, el resultado efectivamente es $45$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar bajar o copiar un número que no fue dividido en un paso determinado, perdiéndolo en la tabla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Colocar números compuestos en la columna de la derecha (como dividir por 6 en lugar de dividir por 2 y por 3 por separado)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir un número de forma inexacta dando decimales en lugar de bajar el número entero tal cual."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Detener la tabla cuando solo uno de los números ha llegado a 1, en lugar de esperar a que todos se reduzcan a 1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar incorrectamente los factores primos de la derecha al final del procedimiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La tabla de divisiones simultáneas consiste en dividir los números dados al mismo tiempo por factores primos en común o individuales. El proceso termina cuando todos los números de la izquierda se reducen a $1$; el producto de la columna derecha es el MCM.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si en un paso del método de divisiones simultáneas elegimos el divisor primo $3$, y tenemos en la columna izquierda los números $5$ y $9$, ¿cómo se reescriben en la siguiente fila?
En las divisiones simultáneas, los números que no se pueden dividir de forma exacta por el primo elegido se conservan sin cambios (se bajan igual), mientras que los divisibles se reemplazan por su cociente.
Respuesta: A) $5$ y $3$, porque $5$ no es divisible por $3$ (se baja igual) y $9 \div 3 = 3$.
-
¿Cómo se obtiene el valor final del MCM una vez completada la tabla de divisiones simultáneas?
El MCM es el producto de todos los divisores primos utilizados durante el procedimiento, los cuales se registran en la columna de la derecha.
Respuesta: A) Multiplicando todos los números primos escritos en la columna de la derecha.
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En el método de la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM, ¿cuándo se da por terminado el proceso?
El método concluye cuando todos los números iniciales colocados a la izquierda se han dividido completamente hasta reducirse todos a $1$.
Respuesta: A) Cuando todos los números de la columna izquierda se reducen a $1$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Considera la siguiente tabla de divisiones simultáneas incompleta para calcular el MCM de $6$ y $15$:
$$\begin{array}{cc|l} 6 & 15 & 2 \ 3 & 15 & 3 \ 1 & 5 & 5 \ 1 & 1 & \ \end{array}$$
¿Cuál es el MCM resultante?Los factores primos en la columna derecha de la tabla son $2, 3$ y $5$. El MCM es su producto: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Respuesta: A) $30$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que al calcular el MCM de $10$ y $25$ por divisiones simultáneas, la columna derecha contiene los factores primos $2$, $5$ y $5$?
La tabla es:
- $10, 25$ | div por $2 \Rightarrow 5, 25$
- $5, 25$ | div por $5 \Rightarrow 1, 5$
- $1, 5$ | div por $5 \Rightarrow 1, 1$
Los factores de la derecha son $2, 5, 5$. El MCM es $2 \cdot 5 \cdot 5 = 50$. La afirmación es verdadera.Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si colocamos un divisor no primo como el $4$ a la derecha de la tabla de divisiones simultáneas, el cálculo del MCM será siempre correcto?
El método exige usar exclusivamente divisores que sean números primos. Colocar números compuestos puede omitir factores primos necesarios o duplicarlos incorrectamente, alterando el resultado del MCM.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si aplicamos el método de la tabla a los números $8$, $12$ y $16$, todos deben alcanzar el valor $1$ a la izquierda para terminar?
Sí, en la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM, todos los números del conjunto a la izquierda de la línea vertical deben reducirse por completo a $1$ para finalizar el algoritmo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un atleta entrena en una pista de atletismo. El atleta A tarda $60$ segundos en dar una vuelta completa, el atleta B tarda $80$ segundos, y el atleta C tarda $90$ segundos. Si los tres inician el entrenamiento juntos, ¿cuántos segundos transcurrirán hasta que vuelvan a cruzar juntos la línea de meta?
Calculamos el MCM de $60, 80$ y $90$ por divisiones simultáneas. Dividimos sucesivamente por $2, 2, 2, 2, 3, 3, 5$. La columna de divisores primos es $2, 2, 2, 2, 3, 3, 5$, cuyo producto es $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$ segundos.
Respuesta: A) $720$ segundos
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Un técnico de mantenimiento debe programar las revisiones de tres máquinas industriales. La máquina X se revisa cada $18$ días, la máquina Y cada $24$ días, y la máquina Z cada $36$ días. Si las tres máquinas se revisaron hoy, ¿en cuántos días más coincidirán sus revisiones por primera vez?
Buscamos el MCM de $18, 24$ y $36$ mediante divisiones simultáneas. Dividimos por $2$ (quedando $9, 12, 18$), por $2$ ($9, 6, 9$), por $2$ ($9, 3, 9$), por $3$ ($3, 1, 3$) y por $3$ ($1, 1, 1$). El MCM es $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ días.
Respuesta: A) $72$ días
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Si se sabe que la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCM de dos números $A$ y $14$ entrega en la columna derecha los factores primos $2, 3, 3, 7$, y que $A$ es divisible por $9$, ¿cuál de los siguientes es el menor valor posible para el número $A$?
El MCM es el producto de los factores: $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$. Dado que $A$ es divisible por $9 = 3^2$, y $A$ debe ser divisor de $126$, probemos las opciones: $18$ es divisible por $9$ ($18 = 9 \cdot 2$). Si $A=18$, el MCM entre $18$ y $14$ es $126$, lo cual coincide con la tabla. Por tanto, el menor valor posible para $A$ de las opciones es $18$.
Respuesta: A) $18$