Cálculo del m.c.m. mediante potencias primas de mayor exponente
Resumen inicial
El m.c.m. mediante factores primos es el producto de todas las bases primas comunes y no comunes elevadas a su mayor exponente.
Explicación en palabras simples
Para calcular el m.c.m. usando la descomposición prima, primero escribimos cada número como producto de potencias de primos. Luego tomamos absolutamente todas las bases primas que aparezcan (hayan o no en todos los números) y a cada una le asignamos el exponente más alto con el que aparece.
Explicación formal
Dadas las descomposiciones canónicas de $a$ y $b$ sobre la unión de bases primas $p_i$:
$$a = \prod p_i^{\alpha_i}, \quad b = \prod p_i^{\beta_i} \implies \operatorname{mcm}(a, b) = \prod p_i^{\max(\alpha_i, \beta_i)}$$
Desglose de la fórmula:
- $\alpha_i, \beta_i \ge 0$: Exponentes de la base prima $p_i$ en cada número ($0$ si no aparece).
- $\max(\alpha_i, \beta_i)$: Selección obligatoria del exponente máximo para cada base prima.
Complemento didáctico: Para $12 = 2^2 \cdot 3^1$ y $18 = 2^1 \cdot 3^2$, tomamos $2^{\max(2,1)} = 2^2$ y $3^{\max(1,2)} = 3^2$, dando $\operatorname{mcm}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
La alternativa correcta es 'Tomar todas las bases primas elevadas a su MAYOR exponente'.
Definiciones clave
- Regla del mayor exponente: Criterio del m.c.m. que selecciona el exponente máximo para cada base prima común y no común.
Ejemplo guiado
Calcule el $\operatorname{mcm}(18, 24)$ utilizando sus descomposiciones en potencias de primos.
- Paso 1: Escribir la descomposición de 18: $18 = 2^1 \cdot 3^2$.
- Paso 2: Escribir la descomposición de 24: $24 = 2^3 \cdot 3^1$.
- Paso 3: Seleccionar el mayor exponente para la base 2: $\max(1, 3) = 3 \implies 2^3$.
- Paso 4: Seleccionar el mayor exponente para la base 3: $\max(2, 1) = 2 \implies 3^2$.
- Paso 5: Multiplicar los factores seleccionados: $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
- Conclusión: $\operatorname{mcm}(18, 24) = 72$.
La alternativa correcta es '72'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la descomposición prima canónica de cada uno de los números.
- Paso 2: Identificar todas las bases primas que aparezcan en al menos una de las descomposiciones.
- Paso 3: Asignar a cada base prima el mayor exponente con el que aparezca y multiplicar el conjunto de potencias.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Elegir el menor exponente en lugar del mayor. Cómo corregirlo: El m.c.m. utiliza el MAYOR exponente ($\max(\alpha_i, \beta_i)$); el menor exponente se usa en el M.C.D.
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Error 2: Omitir los primos que no son comunes a todos los números. Cómo corregirlo: El m.c.m. incluye TODAS las bases primas, sean comunes o no comunes.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Bases: 2, 3, 5. Exponentes mayores: $2^2$, $3^1$, $5^1$. mcm $= 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
- El m.c.m. exige la potencia de mayor exponente ($2^4$).
- Sí, el m.c.m. toma todas las bases primas comunes y no comunes.
- No, utiliza los mayores exponentes. Los menores se usan en el M.C.D.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular analíticamente el mínimo común múltiplo utilizando las formas canónicas de factorización prima.
Descomponiendo cada número en potencias de primos $n = \prod p_i^{a_i}$ y calculando el producto de todos los factores primos comunes y no comunes elevados a su máximo exponente $ ext{mcm} = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al comparar las potencias de un mismo factor primo en las descomposiciones de los números, ¿cuál de ellas se debe seleccionar para calcular el MCM?
El MCM requiere incorporar la mayor potencia con la que se presenta cada factor primo para asegurar que el resultado sea divisible por todos los números del conjunto.
Respuesta: A) La potencia que tenga el mayor exponente.
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Si un factor primo $p$ aparece en la descomposición del número $A$ como $p^2$ y en la del número $B$ no aparece, ¿cómo se incluye en el cálculo del MCM?
Los factores no comunes (que aparecen solo en un número) se consideran como si tuvieran exponente $0$ en el otro número. Al elegir el mayor exponente, se selecciona la potencia existente ($p^2$), incluyéndola tal cual en la multiplicación final.
Respuesta: A) Se incluye como $p^2$, ya que representa el mayor exponente (comparado con exponente $0$).
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En el método de potencias primas para calcular el MCM, ¿cuáles factores primos de las descomposiciones individuales se deben seleccionar?
Para calcular el MCM por potencias primas se deben seleccionar todas las bases de factores primos que aparezcan en al menos una de las descomposiciones.
Respuesta: A) Todos los factores primos presentes (comunes y no comunes).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si las descomposiciones de dos números son $12 = 2^2 \cdot 3$ y $18 = 2 \cdot 3^2$, ¿cuál es la selección correcta de potencias con su mayor exponente para calcular el MCM?
Para la base $2$, comparamos $2^2$ y $2^1$, eligiendo $2^2$. Para la base $3$, comparamos $3^1$ y $3^2$, eligiendo $3^2$. Por tanto, elegimos $2^2$ y $3^2$.
Respuesta: A) $2^2$ y $3^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el MCM de $2^3 \cdot 5$ y $2^2 \cdot 3$ se calcula como $2^3 \cdot 3 \cdot 5$?
Las bases de factores primos son $2, 3$ y $5$. Elegimos los mayores exponentes: para $2$ es $3$, para $3$ es $1$ y para $5$ es $1$. Multiplicando: $2^3 \cdot 3 \cdot 5$. Esto es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que en el método de potencias primas para el MCM de $3^2 \cdot 7$ y $3 \cdot 7^2$, el resultado es $3 \cdot 7$?
El resultado correcto para el MCM es tomar los mayores exponentes de cada base: $3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441$. La expresión $3 \cdot 7 = 21$ corresponde al MCD (mínimo exponente), no al MCM.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el MCM de dos números que no comparten ningún factor primo es igual al producto de ambos?
Si no comparten ningún factor primo común, sus descomposiciones no tienen bases que compitan entre sí. Tomamos todas las potencias de ambos números completas, lo que equivale a multiplicar los dos números directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se tienen tres alarmas en una fábrica. Sus períodos de activación están determinados por las descomposiciones primas $T_1 = 2^3 \cdot 3$, $T_2 = 2^2 \cdot 3^2$ y $T_3 = 2 \cdot 5$. ¿Cuál es la expresión que representa el tiempo mínimo en que las tres alarmas sonarán juntas por primera vez si parten al mismo tiempo?
Buscamos el MCM de las tres expresiones mediante potencias primas. Las bases de primos involucrados son $2, 3$ y $5$. Elegimos el mayor exponente para cada una: para la base $2$ es $3$, para la base $3$ es $2$, y para la base $5$ es $1$. El MCM es $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Respuesta: A) $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
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Un estudiante debe simplificar la suma de fracciones $\frac{1}{A} + \frac{1}{B}$. Si se sabe que la descomposición prima de $A$ es $2^3 \cdot 3 \cdot 5$ y la de $B$ es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$, ¿cuál es el mínimo común denominador necesario para realizar la suma de estas fracciones?
El mínimo común denominador es el MCM de $A$ y $B$. Aplicando potencias primas a $A = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ y $B = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1$, las potencias de mayor exponente son $2^3$, $3^2$, $5^1$ y $7^1$. Su producto es $8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.
Respuesta: A) $2520$
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Sean dos números enteros positivos $X$ e $Y$ tales que su MCM es $2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2$. Si se sabe que la descomposición prima de $X$ es $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$, ¿cuál de las siguientes opciones representa una posible descomposición prima para el número $Y$?
Dado que el MCM es $2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ y $X = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$, el número $Y$ debe aportar obligatoriamente los exponentes mayores que faltan, es decir, un exponente de $3$ igual a $3$, y un exponente de $5$ igual a $2$. El exponente de $2$ en $Y$ debe ser menor o igual a $4$. La opción A ($2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$) cumple esto perfectamente.
Respuesta: A) $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$