Concepto de números coprimos (M.C.D. igual a 1)
Resumen inicial
Dos enteros $a$ y $b$ son coprimos (o primos relativos) si su único divisor común positivo es el 1: $\operatorname{MCD}(a, b) = 1$.
Explicación en palabras simples
Dos números son coprimos o primos entre sí cuando no comparten ningún divisor aparte del 1. Esto no exige que los números sean primos por separado; por ejemplo, el 8 y el 9 son números compuestos, pero son coprimos entre sí porque no comparten ningún factor común excepto el 1.
Explicación formal
Dos enteros $a, b \in \mathbb{Z}$ se definen formalmente como Coprimos (o Primos Relativos) si y solo si:
$$\operatorname{MCD}(a, b) = 1 \quad \iff \quad D^+(a) \cap D^+(b) = \{1\}$$
Desglose de la fórmula:
- $\operatorname{MCD}(a, b) = 1$: El máximo común divisor es exactamente la unidad.
- $D^+(a) \cap D^+(b) = \{1\}$: Intersección trivial compuesta únicamente por el número 1.
Complemento didáctico: Dos números consecutivos cualesquiera $n$ y $n+1$ son siempre coprimos ($\operatorname{MCD}(n, n+1) = 1$).
La alternativa correcta es 'Que su máximo común divisor sea exactamente igual a 1 (MCD = 1)'.
Definiciones clave
- Números coprimos (primos relativos): Par de enteros cuyo M.C.D. es estrictamente igual a 1.
- Intersección trivial: Situación donde la única coincidencia entre los divisores es el número 1.
Ejemplo guiado
Verifique si los enteros $8$ y $15$ son coprimos calculando su $\operatorname{MCD}$.
- Paso 1: Obtener los divisores de 8: $D^+(8) = \{1, 2, 4, 8\}$.
- Paso 2: Obtener los divisores de 15: $D^+(15) = \{1, 3, 5, 15\}$.
- Paso 3: Intersectar conjuntos de divisores: $D^+(8) \cap D^+(15) = \{1\}$.
- Paso 4: Calcular el M.C.D.: $\operatorname{MCD}(8, 15) = 1$.
- Conclusión: Como su único divisor común es 1, $8$ y $15$ son números coprimos.
La alternativa correcta es 'Porque no comparten ningún divisor en común excepto la unidad 1'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular los conjuntos de divisores de ambos números.
- Paso 2: Determinar la intersección de divisores comunes.
- Paso 3: Declarar que son coprimos si la intersección contiene únicamente al número 1.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que para ser coprimos ambos números deben ser primos individuales. Cómo corregirlo: Números compuestos como 8 y 9 son coprimos entre sí porque $\operatorname{MCD}(8,9)=1$.
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Error 2: Pensar que dos números pares pueden ser coprimos. Cómo corregirlo: Dos números pares comparten al menos el divisor 2, por lo que NUNCA son coprimos.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Divisores 14: {1,2,7,14}. Divisores 25: {1,5,25}. Su único divisor común es 1.
- La diferencia entre dos consecutivos es 1, por lo que ningún entero $>1$ puede dividirlos a ambos.
- Sí, son enteros consecutivos por lo que $\operatorname{MCD}(20, 21) = 1$.
- No, al ser pares ambos son divisibles por 2, por ende su $\operatorname{MCD} \ge 2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Identificar y caracterizar rigurosamente cuándo dos o más números naturales son coprimos (primos relativos).
Verificando que su único divisor común positivo sea el $1$ ($ ext{mcd}(a, b) = 1$), demostrando que carecen de factores primos comunes en su factorización o aplicando teoremas analíticos como $ ext{mcd}(n, n+1) = 1$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes parejas de números compuestos es coprima?
Los divisores de 8 son $\{1, 2, 4, 8\}$ y los de 9 son $\{1, 3, 9\}$. Su único divisor común es 1, por lo que son coprimos (a pesar de ser compuestos). En las otras parejas, el MCD es 3, 6 y 5 respectivamente.
Respuesta: 8 y 9
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Si $p$ y $q$ son dos números primos distintos, ¿cuál es siempre su Máximo Común Divisor?
Dado que los números primos solo tienen como divisores a 1 y a sí mismos, dos números primos distintos no pueden compartir otro divisor más que el 1. Por lo tanto, siempre son coprimos y su MCD es 1.
Respuesta: 1
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¿Cuál es la condición para que dos números naturales $a$ y $b$ se consideren coprimos (o primos entre sí)?
Dos números son coprimos si y solo si no tienen divisores comunes mayores que 1, lo cual es equivalente a decir que su Máximo Común Divisor es 1.
Respuesta: Que su Máximo Común Divisor sea igual a 1.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Considerando las propiedades de los números coprimos, ¿cuál de los siguientes pares de números consecutivos es coprimo?
Es una propiedad matemática general: para cualquier número natural $n$, $\text{MCD}(n, n+1) = 1$. Por lo tanto, dos números consecutivos siempre son coprimos.
Respuesta: Cualquier par de números consecutivos es siempre coprimo.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que los números 14 y 25 son coprimos?
$14 = 2 \cdot 7$ y $25 = 5^2$. No comparten ningún factor primo común, por lo que su MCD es 1. Son coprimos.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si dos números son impares, entonces obligatoriamente son coprimos?
No es obligatorio. Por ejemplo, 9 y 15 son ambos impares pero comparten el divisor común 3, por lo que $\text{MCD}(9, 15) = 3 \ne 1$, y no son coprimos.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si $\text{MCD}(a, b) = 1$, entonces la fracción $\frac{a}{b}$ es una fracción irreducible?
Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador no se pueden simplificar por ningún número entero mayor que 1. Esto ocurre exactamente cuando $a$ y $b$ son coprimos, es decir, $\text{MCD}(a, b) = 1$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se eligen dos números enteros positivos $x$ e $y$ tales que son coprimos. Si se define una nueva fracción $\frac{3x}{3y}$, ¿cuál es el Máximo Común Divisor del nuevo numerador y del nuevo denominador?
Como $x$ e $y$ son coprimos, $\text{MCD}(x, y) = 1$. Al multiplicar ambos números por 3, el factor común más grande que comparten ahora es exactamente $3 \cdot \text{MCD}(x, y) = 3 \cdot 1 = 3$.
Respuesta: 3
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Una criptógrafa quiere elegir dos números de una lista para crear una clave de cifrado. Para que el algoritmo funcione, los números elegidos deben ser coprimos. Si la lista contiene los números $\{15, 21, 28, 35\}$, ¿cuál de las siguientes parejas cumple la condición?
Descomponemos los números: $15 = 3 \cdot 5$; $28 = 2^2 \cdot 7$. No comparten factores primos comunes, así que $\text{MCD}(15, 28) = 1$ y son coprimos. Los otros pares comparten el factor 5 (15 y 35) o el 7 (21 y 28, 28 y 35).
Respuesta: 15 y 28
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En una clase de diseño, un alumno quiere cortar una cartulina de $36\text{ cm}$ por $x\text{ cm}$ en cuadrados iguales sin desperdiciar nada. Si se desea que sea imposible cortarla en cuadrados de lados mayores que $1\text{ cm}$, ¿cuál de los siguientes valores de $x$ asegura que esto ocurra?
Para que el único cuadrado posible sea de $1\text{ cm}$ de lado, el Máximo Común Divisor entre 36 y $x$ debe ser 1 (deben ser coprimos). Al analizar las opciones, $\text{MCD}(36, 25) = 1$. Para los otros valores (18, 24, 30), el MCD es mayor que 1.
Respuesta: 25