Concepto de máximo común divisor
Resumen inicial
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más enteros es el mayor entero positivo que los divide a todos exactamente sin residuo.
Explicación en palabras simples
El máximo común divisor representa el tamaño más grande posible que podemos usar para dividir o agrupar varias cantidades diferentes en partes exactamente iguales sin que sobre nada. Por ejemplo, al cortar dos piezas de tela de distinto largo en tiras iguales lo más grandes posible, la longitud buscada es el M.C.D.
Explicación formal
Para un conjunto de enteros $a_1, a_2, \ldots, a_k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, el Máximo Común Divisor $\operatorname{MCD}(a_1, \dots, a_k)$ se define formalmente como:
$$\operatorname{MCD}(a_1, \dots, a_k) = \max \left( \bigcap_{i=1}^k D^+(a_i) \right)$$
Desglose de la fórmula:
- $D^+(a_i)$: Conjunto finito de los divisores enteros positivos del número $a_i$.
- $\bigcap_{i=1}^k$: Intersección de los conjuntos de divisores (divisores comunes a todos).
- $\max(\dots)$: Selección del mayor entero positivo de dicha intersección.
Complemento didáctico: El M.C.D. es como mínimo igual a 1 (para números sin divisores primos compartidos) y como máximo igual al menor de los números dados.
La alternativa correcta es 'El mayor entero positivo que divide exactamente tanto a a como a b'.
Definiciones clave
- Máximo común divisor (M.C.D.): El mayor divisor compartido que divide exactamente a varios enteros.
- Intersección de divisores: Colección de factores que dividen simultáneamente a todas las cantidades.
Propiedades y relaciones importantes
- Acotamiento superior: $\operatorname{MCD}(a, b) \le \min(|a|, |b|)$.
- Identidad de Bezout: Existen enteros $x, y$ tales que $a x + b y = \operatorname{MCD}(a, b)$.
Ejemplo guiado
Halle el máximo común divisor entre $12$ y $18$ comparando sus divisores positivos.
- Paso 1: Obtener divisores de 12: $D^+(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
- Paso 2: Obtener divisores de 18: $D^+(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
- Paso 3: Intersectar los divisores comunes: $D^+(12) \cap D^+(18) = \{1, 2, 3, 6\}$.
- Paso 4: Seleccionar el mayor divisor común: $\max(\{1, 2, 3, 6\}) = 6$.
- Conclusión: $\operatorname{MCD}(12, 18) = 6$.
La alternativa correcta es '6'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular la lista de divisores de cada uno de los números dados.
- Paso 2: Encontrar los divisores en los que coinciden todas las listas.
- Paso 3: Seleccionar el divisor más grande de la intersección común como el $\operatorname{MCD}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Confundir el M.C.D. con el m.c.m. calculando un número más grande. Cómo corregirlo: El M.C.D. es un DIVISOR, por lo que es MENOR o igual que el menor de los números dados.
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Error 2: Pensar que si los números son impares el M.C.D. no existe. Cómo corregirlo: El M.C.D. siempre existe y vale al menos 1.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. MCD = 10.
- $\operatorname{MCD}(15, 25) = 5$ metros.
- Sí, el 1 es divisor universal de todos los enteros.
- No, 24 es un múltiplo (m.c.m.), el M.C.D. debe ser menor o igual a 8 ($MCD=4$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Definir y comprender formalmente el concepto de máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales.
Identificando el mayor número natural que divide exactamente a los términos dados simultáneamente ($ ext{mcd}(a, b) = \max(D(a) \cap D(b))$) y aplicando las propiedades $1 \le ext{mcd}(a, b) \le \min(a, b)$ y $ ext{mcd}(a, b) \cdot ext{mcm}(a, b) = a \cdot b$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $a$ es divisor de $b$, ¿cuál es el valor de $\text{MCD}(a, b)$?
Si $a$ es divisor de $b$, entonces el mayor divisor que $a$ puede tener en común con $b$ es sí mismo, es decir, $a$.
Respuesta: $a$
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el MCD de cualquier par de números naturales $x$ e $y$ es siempre verdadera?
Como el MCD es un divisor común, no puede ser mayor que ninguno de los números que divide. Por lo tanto, es menor o igual al menor de los dos números, es decir, $\text{MCD}(x, y) \le \min(x, y)$.
Respuesta: $\text{MCD}(x, y) \le \min(x, y)$
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¿Cuál es la definición matemática del Máximo Común Divisor (MCD) de dos números enteros positivos $a$ y $b$?
Por definición, el Máximo Común Divisor (MCD) es el entero positivo más grande que divide exactamente (con resto 0) a cada uno de los números dados.
Respuesta: El mayor entero positivo que divide a ambos números sin dejar resto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si listamos los divisores comunes de 24 y 36, obtenemos $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. ¿Cuál es el Máximo Común Divisor de estos números?
El Máximo Común Divisor es, por definición, el mayor elemento del conjunto de divisores comunes. En la lista dada, el mayor número es 12.
Respuesta: 12
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el Máximo Común Divisor entre 15 y 25 es 5?
Los divisores de 15 son $\{1, 3, 5, 15\}$ y los de 25 son $\{1, 5, 25\}$. El mayor divisor común es 5.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el Máximo Común Divisor de 8 y 16 es 16?
Dado que 8 es divisor de 16, el MCD es 8, no 16. Un divisor común no puede ser mayor que el menor de los números.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el Máximo Común Divisor de tres números enteros positivos siempre existe y es mayor o igual a 1?
Cualquier conjunto de números enteros positivos comparte al menos el divisor común 1. Por lo tanto, su MCD siempre existe y es al menos 1.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un carpintero tiene dos tablas de madera de $120\text{ cm}$ y $180\text{ cm}$ de largo, respectivamente. Desea cortarlas en trozos de igual longitud, que sea la mayor posible, sin que sobre nada de madera. ¿Cuál debe ser la longitud de cada trozo?
Para que no sobre madera y los trozos sean iguales, la longitud debe ser divisor común de 120 y 180. Al buscar la longitud máxima, calculamos el $\text{MCD}(120, 180) = 60\text{ cm}$.
Respuesta: $60\text{ cm}$
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En una bodega hay 48 botellas de jugo de manzana y 72 de jugo de naranja. Se quieren empacar en cajas idénticas que contengan el mismo número de botellas de cada sabor, maximizando el número de cajas. ¿Cuántas botellas de jugo de naranja habrá en cada caja?
Primero calculamos el máximo número de cajas posibles, que es el $\text{MCD}(48, 72) = 24$. Para saber cuántas botellas de naranja van en cada caja, dividimos el total de botellas de naranja por el número de cajas: $72 \div 24 = 3$.
Respuesta: 3 botellas
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Se tienen tres rollos de cinta adhesiva de $18\text{ m}$, $24\text{ m}$ y $30\text{ m}$ de longitud. Si se desea cortarlos en pedazos iguales de la máxima longitud posible sin desperdiciar nada, ¿cuál es la cantidad total de pedazos que se obtienen?
La longitud máxima de los pedazos es $\text{MCD}(18, 24, 30) = 6\text{ m}$. El número de pedazos de cada cinta es $18\div 6 = 3$, $24\div 6 = 4$, y $30\div 6 = 5$. El total es $3 + 4 + 5 = 12$ pedazos.
Respuesta: 12