Cálculo del M.C.D. mediante tabla de factores comunes
Resumen inicial
El M.C.D. por tabla simultánea divide los números ÚNICAMENTE por primos que dividan a TODOS los números a la vez.
Explicación en palabras simples
Para calcular el M.C.D. en una tabla simultánea, dividimos los números en paralelo usando únicamente factores primos que dividan exactamente a TODOS los números de la fila al mismo tiempo. Cuando ya no exista ningún primo que los divida a todos, nos detenemos y multiplicamos los primos anotados.
Explicación formal
En la Tabla de Factores Primos Comunes, las divisiones se aplican sobre la fila $(a_1, a_2, \dots, a_k)$ exigiendo estrictamente:
$$p_j \in \text{Primos} \quad \text{tal que } \forall i \in \{1, \dots, k\}, \, p_j \mid a_i$$
Desglose de la fórmula:
- Condición de detención: $\operatorname{MCD}\left( \frac{a_1}{\prod p_j}, \dots, \frac{a_k}{\prod p_j} \right) = 1$ (cocientes coprimos).
- $\operatorname{MCD}(a_1, \dots, a_k) = \prod_{j=1}^m p_j$: Multiplicación exclusiva de los primos comunes aplicados.
Complemento didáctico: A diferencia del m.c.m. (donde se dividía si al menos uno era divisible), en el M.C.D. es OBLIGATORIO que el primo divida a TODOS los números de la fila simultáneamente.
La alternativa correcta es 'Cuando ya no existe ningún primo que divida a TODOS los números de la fila a la vez'.
Definiciones clave
- Tabla de factores comunes (M.C.D.): Algoritmo de división colectiva por primos comunes hasta obtener cocientes coprimos.
Ejemplo guiado
Calcule el $\operatorname{MCD}(36, 48)$ mediante la tabla de factores primos comunes.
- Paso 1: Fila 1 (36, 48). Ambos son divisibles por 2: $36:2=18, 48:2=24 \implies$ Fila 2 (18, 24). Primo: 2.
- Paso 2: Fila 2 (18, 24). Ambos son divisibles por 2: $18:2=9, 24:2=12 \implies$ Fila 3 (9, 12). Primo: 2.
- Paso 3: Fila 3 (9, 12). 9 no es divisible por 2, probamos con 3: $9:3=3, 12:3=4 \implies$ Fila 4 (3, 4). Primo: 3.
- Paso 4: Fila 4 (3, 4). No existe ningún primo que divida a 3 y a 4 al mismo tiempo ($\operatorname{MCD}(3,4)=1$). Detener la tabla.
- Paso 5: Multiplicar los primos comunes anotados: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
- Conclusión: $\operatorname{MCD}(36, 48) = 12$.
La alternativa correcta es '12'.
Procedimiento
- Paso 1: Colocar los números en fila.
- Paso 2: Buscar un primo que divida a TODOS los números de la fila y anotar el resultado en la fila siguiente.
- Paso 3: Repetir hasta que los cocientes de la fila no compartan divisores primos comunes.
- Paso 4: Multiplicar los primos de la columna derecha para calcular el M.C.D.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Dividir por un primo que solo divide a uno de los números (confundir con m.c.m.). Cómo corregirlo: En el M.C.D., el primo DEBE dividir a TODOS los números de la fila obligatoriamente.
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Error 2: Continuar dividiendo cuando los números de la fila son coprimos. Cómo corregirlo: Si $\operatorname{MCD}(a,b)=1$, la tabla se detiene de inmediato.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Fila 1: (24, 60) : 2 -> (12, 30) : 2 -> (6, 15) : 3 -> (2, 5). MCD = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
- Al no haber primos que dividan a 3 y 5 al mismo tiempo, el algoritmo termina.
- Sí, es la diferencia metodológica clave entre ambos.
- Sí, $16:2=8, 20:2=10 \implies 8:2=4, 10:2=5 \implies MCD = 2 \cdot 2 = 4$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular el máximo común divisor de dos o más números mediante la tabla vertical de factores primos comunes.
Dividiendo simultáneamente por factores primos que dividan estrictamente a todos los números a la vez, deteniendo el algoritmo en cuanto los cocientes resultantes sean coprimos, y multiplicando la columna de factores.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En el método de la tabla de factores comunes para calcular el MCD de varios números, ¿cuándo se debe detener el proceso de división?
En la tabla de factores comunes para el MCD, solo dividimos por factores que sean comunes a TODOS los números de la fila. Nos detenemos cuando no hay factores comunes mayores que 1.
Respuesta: Cuando los cocientes de la fila ya no tengan ningún factor primo común.
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Al usar la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCD de 24 y 36, ¿cuál de los siguientes números NO se puede colocar en la columna de divisores comunes de la derecha?
El número 5 no es divisor ni de 24 ni de 36, por lo que no es un factor común y no puede colocarse en la columna de la derecha.
Respuesta: 5
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Si en la columna derecha de la tabla del MCD de dos números obtuvimos los factores primos 2, 2 y 3, ¿cuál es el MCD de dichos números?
El MCD se obtiene multiplicando todos los factores de la columna derecha: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
Respuesta: 12
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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En la tabla del MCD para los números 48 y 72, si el primer divisor común utilizado es 2, ¿cuáles son los cocientes que se anotan inmediatamente debajo de ellos?
Dividimos cada número por 2: $48 \div 2 = 24$ y $72 \div 2 = 36$.
Respuesta: 24 y 36
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si aplicamos el método de la tabla de factores comunes a los números 18 y 24, y dividimos por 2, luego por 3, los cocientes restantes son 3 y 4?
$18 \div 2 = 9$, $24 \div 2 = 12$. Luego $9 \div 3 = 3$, $12 \div 3 = 4$. Los cocientes son 3 y 4.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que en el método de la tabla del MCD, para calcular el MCD de 10 y 15, podemos dividir por 2 porque 2 es divisor de 10?
El factor debe ser común a todos los números de la fila. Como 15 no es divisible por 2, no podemos dividir por 2. Debemos usar el factor común 5.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si los cocientes en una fila de la tabla del MCD son 9 y 15, debemos detenernos porque 9 no es un número primo?
No nos detenemos basándonos en si los números son primos, sino en si comparten factores comunes. Como 9 y 15 comparten el factor común 3, debemos continuar dividiendo.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Para un evento, se quieren organizar mesas con arreglos florales iguales de rosas rojas y blancas. Hay 80 rosas rojas y 120 rosas blancas. Utilizando la tabla de factores comunes, se quiere determinar el número máximo de arreglos florales que se pueden hacer sin que sobre ninguna rosa. ¿Cuál es ese número?
Al armar la tabla para 80 y 120, dividimos por 2 (40, 60), por 2 (20, 30), por 2 (10, 15), y por 5 (2, 3). El producto de los factores de la derecha es $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 40$. Por lo tanto, se pueden hacer 40 arreglos.
Respuesta: 40
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Una pastelería tiene 90 galletas de chocolate, 135 de vainilla y 180 de limón. Se quieren armar bolsas con la misma distribución de galletas. Haciendo una tabla de factores comunes simultáneos para 90, 135 y 180, ¿cuántas galletas en total tendrá cada una de las bolsas si se maximiza la cantidad de bolsas?
Hacemos la tabla: divisores comunes para 90, 135, 180 son 5 (da 18, 27, 36), luego 3 (da 6, 9, 12), luego 3 (da 2, 3, 4). El MCD es $5 \cdot 3 \cdot 3 = 45$ bolsas. Las galletas en cada bolsa serán los cocientes finales: 2 de chocolate, 3 de vainilla y 4 de limón. El total de galletas por bolsa es $2 + 3 + 4 = 9$.
Respuesta: 9
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Un comerciante tiene tres rollos de alambre de 54 m, 72 m y 90 m. Quiere cortar todo el alambre en trozos de la misma longitud (entera en metros), siendo esta la mayor posible. Si realiza la tabla de factores comunes para resolver el problema, ¿cuál es la longitud que debe tener cada trozo?
Hacemos la tabla para 54, 72 y 90: dividimos por 2 (27, 36, 45), luego por 3 (9, 12, 15), y luego por 3 (3, 4, 5). Los factores son 2, 3, 3. Multiplicados dan $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\text{ m}$.
Respuesta: 18 m