Cálculo del M.C.D. mediante tabla de factores comunes
Calcular el MCD empleando una tabla de factores comunes de manera simultánea.
Introducción
¿Te imaginas poder simplificar el trabajo de calcular divisores para varios números al mismo tiempo?
Existe un método muy ordenado que consiste en colocar los números lado a lado en una tabla y dividirlos al mismo tiempo. El secreto de este truco para encontrar el MCD es que solo podemos usar divisores primos que sirvan para todos los números a la vez.
En cuanto uno de los números ya no se pueda dividir por el mismo factor primo que los demás, ¡nos detenemos! Luego, multiplicamos todos los divisores que usamos y listo, tenemos nuestro MCD de forma rápida y limpia.
Explicación
Para calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números utilizando el método de la tabla de factores comunes (también conocido como divisiones simultáneas limitadas), realizamos los siguientes pasos de forma estructurada:
- Ubicamos los números en una línea horizontal. Al lado derecho, trazamos una línea vertical para colocar los divisores.
- Buscamos el menor factor primo (como $2, 3, 5, 7, \dots$) que sea divisor de todos los números de la línea al mismo tiempo.
- Dividimos cada número por ese factor primo y anotamos los cocientes debajo de cada uno de ellos.
- Repetimos el proceso con los nuevos cocientes.
- Detención: Nos detenemos cuando los cocientes obtenidos ya no tengan ningún factor primo en común (es decir, cuando sean mutuamente primos o coprimos).
- El MCD es el producto de todos los factores primos que anotamos a la derecha de la línea vertical.
Ejemplo práctico:
Calcular $\text{MCD}(60, 90)$:
$$\begin{array}{cc|c}
60 & 90 & 2 \\
30 & 45 & 3 \\
10 & 15 & 5 \\
2 & 3 &
\end{array}$$
Como $2$ y $3$ no comparten ningún divisor primo común, el proceso termina aquí.
Multiplicamos los factores de la derecha:
$$\text{MCD}(60, 90) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$$
Este método es muy eficiente para números medianos y grandes porque evita tener que listar todos los divisores o realizar descomposiciones factoriales completas por separado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Coloca los números en una fila horizontal y traza una línea vertical a la derecha de ellos.
- Paso 2: Divide todos los números de la fila simultáneamente por un factor primo común (como 2, 3, 5, etc.) que los divida exactamente.
- Paso 3: Escribe los cocientes obtenidos debajo de sus respectivos números y coloca el factor primo utilizado a la derecha de la línea vertical.
- Paso 4: Repite el proceso con los nuevos cocientes hasta que ya no exista ningún factor primo que sea común a todos ellos.
- Paso 5: Multiplica todos los factores primos anotados a la derecha de la línea vertical. El resultado es el MCD.
Ejemplos
1 Calcula el MCD de $36$ y $48$ usando el método de la tabla de factores comunes.
- Paso a: Escribimos los números $36$ y $48$. Ambos son pares, así que dividimos por el factor primo común $2$. Nos quedan $18$ y $24$ a la izquierda, y anotamos $2$ a la derecha.
- Paso b: $18$ y $24$ también son pares, así que dividimos nuevamente por $2$. Nos quedan $9$ y $12$ a la izquierda, y anotamos otro $2$ a la derecha.
- Paso c: $9$ y $12$ no son ambos pares, pero ambos son divisibles por $3$. Dividimos por $3$, obteniendo cocientes $3$ y $4$ a la izquierda, y anotando $3$ a la derecha.
- Paso d: Los cocientes $3$ y $4$ no tienen divisores comunes distintos de $1$. Detenemos el proceso.
- Paso e: Multiplicamos los factores de la derecha: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. Por ende, $\text{MCD}(36, 48) = 12$.
2 Encuentra el MCD de $30, 45$ y $75$ mediante la tabla de divisiones simultáneas.
- Paso a: Escribimos $30$, $45$ y $75$. No todos son pares, pero todos son divisibles por el factor primo $3$. Dividimos por $3$, obteniendo $10$, $15$ y $25$. Anotamos $3$ a la derecha.
- Paso b: $10$, $15$ y $25$ no son divisibles por $3$ simultáneamente. Sin embargo, todos terminan en $0$ o $5$, por lo que son divisibles por $5$. Dividimos por $5$, obteniendo cocientes $2$, $3$ y $5$. Anotamos $5$ a la derecha.
- Paso c: Los cocientes $2$, $3$ y $5$ no tienen divisores comunes mayores que $1$. Detenemos el proceso.
- Paso d: Multiplicamos los factores de la derecha: $3 \cdot 5 = 15$. Por ende, $\text{MCD}(30, 45, 75) = 15$.
3 Si usamos el método de la tabla de factores comunes para $24$ y $36$, ¿el primer cociente que obtenemos al dividir por $2$ es $12$ y $18$ respectivamente?
- Colocamos los números $24$ y $36$ y dividimos entre el factor común $2$.
- Al realizar $24 \div 2$ obtenemos $12$, y al realizar $36 \div 2$ obtenemos $18$.
- Por lo tanto, la afirmación es correcta.
4 ¿Debemos continuar dividiendo en la tabla de factores comunes de $12$ y $18$ si llegamos a los cocientes $2$ y $3$?
- Los cocientes obtenidos son $2$ y $3$.
- Dado que $2$ y $3$ son números primos entre sí (coprimos) y no comparten factores comunes mayores que $1$, el proceso se detiene en este paso.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Continuar dividiendo un número de forma individual cuando el factor no es común a todos los demás números de la fila (este es un error típico al confundirse con el cálculo del MCM)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar multiplicar los factores primos anotados al final a la derecha para obtener el MCD, dejando solo la lista de factores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar números compuestos a la derecha en lugar de factores primos (aunque funciona si se hace con cuidado, es propenso a errores de división)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No detectar que un factor común existe y detener la tabla antes de tiempo, obteniendo un MCD menor al real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Colocar factores en la columna derecha que no dividen de manera exacta a alguno de los números del conjunto a la izquierda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El método de tabla de factores comunes consiste en dividir simultáneamente un grupo de números por sus factores primos comunes. El proceso finaliza cuando ya no existen factores primos comunes a todos los números. El MCD se obtiene multiplicando todos los factores primos empleados en la división.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En el método de la tabla de factores comunes para calcular el MCD de varios números, ¿cuándo se debe detener el proceso de división?
En la tabla de factores comunes para el MCD, solo dividimos por factores que sean comunes a TODOS los números de la fila. Nos detenemos cuando no hay factores comunes mayores que 1.
Respuesta: Cuando los cocientes de la fila ya no tengan ningún factor primo común.
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Al usar la tabla de divisiones simultáneas para calcular el MCD de 24 y 36, ¿cuál de los siguientes números NO se puede colocar en la columna de divisores comunes de la derecha?
El número 5 no es divisor ni de 24 ni de 36, por lo que no es un factor común y no puede colocarse en la columna de la derecha.
Respuesta: 5
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Si en la columna derecha de la tabla del MCD de dos números obtuvimos los factores primos 2, 2 y 3, ¿cuál es el MCD de dichos números?
El MCD se obtiene multiplicando todos los factores de la columna derecha: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
Respuesta: 12
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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En la tabla del MCD para los números 48 y 72, si el primer divisor común utilizado es 2, ¿cuáles son los cocientes que se anotan inmediatamente debajo de ellos?
Dividimos cada número por 2: $48 \div 2 = 24$ y $72 \div 2 = 36$.
Respuesta: 24 y 36
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si aplicamos el método de la tabla de factores comunes a los números 18 y 24, y dividimos por 2, luego por 3, los cocientes restantes son 3 y 4?
$18 \div 2 = 9$, $24 \div 2 = 12$. Luego $9 \div 3 = 3$, $12 \div 3 = 4$. Los cocientes son 3 y 4.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que en el método de la tabla del MCD, para calcular el MCD de 10 y 15, podemos dividir por 2 porque 2 es divisor de 10?
El factor debe ser común a todos los números de la fila. Como 15 no es divisible por 2, no podemos dividir por 2. Debemos usar el factor común 5.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si los cocientes en una fila de la tabla del MCD son 9 y 15, debemos detenernos porque 9 no es un número primo?
No nos detenemos basándonos en si los números son primos, sino en si comparten factores comunes. Como 9 y 15 comparten el factor común 3, debemos continuar dividiendo.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Para un evento, se quieren organizar mesas con arreglos florales iguales de rosas rojas y blancas. Hay 80 rosas rojas y 120 rosas blancas. Utilizando la tabla de factores comunes, se quiere determinar el número máximo de arreglos florales que se pueden hacer sin que sobre ninguna rosa. ¿Cuál es ese número?
Al armar la tabla para 80 y 120, dividimos por 2 (40, 60), por 2 (20, 30), por 2 (10, 15), y por 5 (2, 3). El producto de los factores de la derecha es $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 40$. Por lo tanto, se pueden hacer 40 arreglos.
Respuesta: 40
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Una pastelería tiene 90 galletas de chocolate, 135 de vainilla y 180 de limón. Se quieren armar bolsas con la misma distribución de galletas. Haciendo una tabla de factores comunes simultáneos para 90, 135 y 180, ¿cuántas galletas en total tendrá cada una de las bolsas si se maximiza la cantidad de bolsas?
Hacemos la tabla: divisores comunes para 90, 135, 180 son 5 (da 18, 27, 36), luego 3 (da 6, 9, 12), luego 3 (da 2, 3, 4). El MCD es $5 \cdot 3 \cdot 3 = 45$ bolsas. Las galletas en cada bolsa serán los cocientes finales: 2 de chocolate, 3 de vainilla y 4 de limón. El total de galletas por bolsa es $2 + 3 + 4 = 9$.
Respuesta: 9
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Un comerciante tiene tres rollos de alambre de 54 m, 72 m y 90 m. Quiere cortar todo el alambre en trozos de la misma longitud (entera en metros), siendo esta la mayor posible. Si realiza la tabla de factores comunes para resolver el problema, ¿cuál es la longitud que debe tener cada trozo?
Hacemos la tabla para 54, 72 y 90: dividimos por 2 (27, 36, 45), luego por 3 (9, 12, 15), y luego por 3 (3, 4, 5). Los factores son 2, 3, 3. Multiplicados dan $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\text{ m}$.
Respuesta: 18 m