Cálculo del M.C.D. mediante potencias primas de menor exponente
Resumen inicial
El M.C.D. mediante factores primos es el producto de las bases primas COMUNES elevadas a su MENOR exponente.
Explicación en palabras simples
Para calcular el M.C.D. con la descomposición prima, escribimos cada número como producto de potencias de primos. Seleccionamos únicamente las bases primas que aparezcan en TODOS los números y le asignamos a cada una el exponente más pequeño con el que figure.
Explicación formal
Dadas las descomposiciones canónicas de $a$ y $b$ sobre las bases primas comunes $p_i \in \operatorname{Bases}(a) \cap \operatorname{Bases}(b)$:
$$a = \prod p_i^{\alpha_i}, \quad b = \prod p_i^{\beta_i} \implies \operatorname{MCD}(a, b) = \prod_{p_i \text{ común}} p_i^{\min(\alpha_i, \beta_i)}$$
Desglose de la fórmula:
- $p_i \text{ común}$: Solo se incluyen las bases primas presentes simultáneamente en todas las descomposiciones.
- $\min(\alpha_i, \beta_i)$: Selección del MENOR exponente entre las potencias correspondientes.
Complemento didáctico: Para $24 = 2^3 \cdot 3^1$ y $36 = 2^2 \cdot 3^2$, las bases comunes son 2 y 3. Tomamos $2^{\min(3,2)} = 2^2$ y $3^{\min(1,2)} = 3^1$, dando $\operatorname{MCD}(24,36) = 2^2 \cdot 3^1 = 12$.
La alternativa correcta es 'Solo las bases primas COMUNES elevadas a su MENOR exponente'.
Definiciones clave
- Regla del menor exponente común: Criterio del M.C.D. que multiplica únicamente primos compartidos con su exponente mínimo.
Ejemplo guiado
Calcule el $\operatorname{MCD}(40, 60)$ usando la descomposición prima y la regla del menor exponente.
- Paso 1: Descomposición de 40: $40 = 2^3 \cdot 5^1$.
- Paso 2: Descomposición de 60: $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
- Paso 3: Identificar bases primas comunes a ambos: el 2 y el 5 (el 3 no es común).
- Paso 4: Seleccionar el menor exponente para la base 2: $\min(3, 2) = 2 \implies 2^2$.
- Paso 5: Seleccionar el menor exponente para la base 5: $\min(1, 1) = 1 \implies 5^1$.
- Paso 6: Multiplicar las potencias seleccionadas: $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$.
- Conclusión: $\operatorname{MCD}(40, 60) = 20$.
La alternativa correcta es 'Porque el 3 no es una base prima común a ambos números'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la descomposición prima canónica de todos los números.
- Paso 2: Seleccionar únicamente las bases primas que aparezcan en todas las descomposiciones.
- Paso 3: Asignar a cada base prima común el menor exponente y multiplicar los resultados.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Incluir primos que no son comunes a todos los números. Cómo corregirlo: Para el M.C.D. se descartan las bases que no estén compartidas por TODOS.
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Error 2: Tomar el mayor exponente en lugar del menor. Cómo corregirlo: El M.C.D. utiliza el MENOR exponente ($\min(\alpha_i, \beta_i)$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Bases comunes: 2 y 3. Menores exponentes: $2^2$ y $3^2$. MCD $= 4 \cdot 9 = 36$.
- Al no compartir ninguna base prima, su M.C.D. es 1 (son coprimos).
- Sí, el M.C.D. exige trabajar únicamente con las bases primas comunes.
- Sí, se elige el menor exponente $\min(3, 5) = 3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular analíticamente el máximo común divisor utilizando la descomposición canónica en potencias primas.
Expresando cada número como $n = \prod p_i^{a_i}$ y multiplicando únicamente las bases primas comunes elevadas a su menor exponente $ ext{mcd} = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si dos números $X$ e $Y$ no tienen ningún factor primo en común en sus descomposiciones factoriales, ¿cuál es el valor de $\text{MCD}(X, Y)$?
Si no hay factores primos en común, el único divisor común que comparten es el 1. Por lo tanto, su MCD es 1 (son coprimos).
Respuesta: 1
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Sean dos números $A = 2^4 \cdot 3^2$ y $B = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1$. ¿Cuál es la expresión del $\text{MCD}(A, B)$ en factores primos?
Los factores primos comunes son $2$ y $3$. El menor exponente para el $2$ es $3$, y para el $3$ es $2$. El factor $5$ no es común. Por ende, el MCD es $2^3 \cdot 3^2$.
Respuesta: $2^3 \cdot 3^2$
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Si descompone dos números en sus factores primos, ¿cómo obtiene el MCD utilizando sus exponentes?
De acuerdo con el método de descomposición factorial, el MCD de dos números es el producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente.
Respuesta: Multiplicando solo los factores primos comunes elevados a su menor exponente.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al descomponer el número 60 en factores primos, ¿cuál es su representación en potencias primas?
Descomponemos 60: $60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Las bases deben ser estrictamente números primos.
Respuesta: $2^2 \cdot 3 \cdot 5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el MCD de $2^2 \cdot 3^3$ y $2^3 \cdot 3^1$ es $2^2 \cdot 3^1 = 12$?
Factores comunes: 2 y 3. El menor exponente del 2 es 2, y del 3 es 1. El MCD es $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que para calcular el MCD de $A = 2^2 \cdot 5$ y $B = 3^2 \cdot 5$, debemos multiplicar $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$?
Esa operación calcula el MCM. Para el MCD, solo tomamos los factores primos comunes (en este caso el 5) con su menor exponente. El MCD es 5.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que la descomposición prima de 72 es $2^3 \cdot 3^2$ y la de 108 es $2^2 \cdot 3^3$?
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ y $108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$. Ambas descomposiciones son correctas.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un sistema electrónico emite dos tipos de señales. La señal A se emite cada $A = 2^4 \cdot 3^2$ microsegundos y la señal B cada $B = 2^3 \cdot 3^3$ microsegundos. Para sincronizar los osciladores se necesita conocer el MCD de ambos intervalos de tiempo. ¿Cuál es el valor de dicho MCD?
Calculamos el MCD tomando los factores comunes con su menor exponente: $\text{MCD}(A, B) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
Respuesta: 72
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En una parcela se tienen dos parcelaciones rectangulares cuyas áreas expresadas en metros cuadrados son $Area_1 = 2^3 \cdot 5^2$ y $Area_2 = 2^2 \cdot 5^3$. Si se quiere subdividir ambas en parcelas más pequeñas que tengan el mismo tamaño máximo posible de área entera, ¿cuál debe ser el área de cada subdivisión?
El tamaño máximo posible es el MCD de ambas áreas. $\text{MCD}(2^3 \cdot 5^2, 2^2 \cdot 5^3) = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$.
Respuesta: 100
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Se quiere simplificar la fracción $\frac{360}{540}$ dividiendo el numerador y el denominador por su Máximo Común Divisor. Si la descomposición factorial de $360$ es $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ y la de $540$ es $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$, ¿cuál es el MCD por el que se debe simplificar?
Calculamos $\text{MCD}(360, 540) = 2^{\min(3,2)} \cdot 3^{\min(2,3)} \cdot 5^{\min(1,1)} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Respuesta: 180