Factorización prima mediante tabla
Aplicar el método de la tabla de divisiones sucesivas para obtener la descomposición prima de un número compuesto.
Introducción
Imagina que estás bajando por una escalera de caracol muy alta. Cada escalón te lleva a un nivel más bajo hasta que finalmente llegas al suelo firme (que en este caso es el número 1).
El método de la tabla de divisiones sucesivas es precisamente como esa escalera. Es una herramienta súper organizada donde colocas tu número en una columna y lo vas dividiendo paso a paso por números primos. Los resultados los anotas abajo y sigues dividiendo hasta llegar al final.
Es el método favorito de los matemáticos porque es muy ordenado, evita que te confundas y hace que trabajar con números grandes sea pan comido.
Explicación
El Método de la Tabla (también llamado de divisiones sucesivas o de la línea vertical) es un algoritmo muy eficiente para descomponer números enteros en factores primos.
Para utilizar este método, trazamos una línea vertical:
- A la izquierda escribimos el número que queremos descomponer.
- A la derecha escribiremos los números primos que actúan como divisores exactos.
Ejemplo detallado para el número $60$:
- Dibujamos la tabla y comenzamos con el $60$ a la izquierda. Buscamos el menor número primo que divida a $60$, que es el $2$.
60 | 2 - Realizamos la división: $60 \div 2 = 30$. Escribimos el cociente $30$ debajo de $60$.
60 | 2 30 | - Repetimos el proceso con $30$. El menor primo que lo divide es el $2$. Dividimos: $30 \div 2 = 15$.
60 | 2 30 | 2 15 | - Repetimos con $15$. No es divisible por $2$. Probamos con el siguiente primo, que es $3$. Dividimos: $15 \div 3 = 5$.
60 | 2 30 | 2 15 | 3 5 | - Repetimos con $5$. Como $5$ es un número primo, solo se divide por $5$. Dividimos: $5 \div 5 = 1$. Escribimos el $1$ abajo a la izquierda.
60 | 2 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1 |
Al llegar al $1$ a la izquierda, el proceso termina. La columna derecha contiene los factores primos del número.
La descomposición final es la multiplicación de los números de la derecha:
$$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dibuja una línea vertical. Escribe el número original arriba a la izquierda.
- Paso 2: Encuentra el menor número primo ($2, 3, 5, 7, \dots$) que divida al número de la izquierda de forma exacta. Escríbelo a la derecha de la línea.
- Paso 3: Divide el número de la izquierda por el primo de la derecha. Escribe el resultado de la división (cociente) inmediatamente debajo del número anterior a la izquierda.
- Paso 4: Repite los pasos 2 y 3 usando el nuevo número de la izquierda, hasta obtener un cociente de 1.
- Paso 5: Escribe la descomposición multiplicando todos los números de la columna derecha, agrupando los repetidos con exponentes.
Ejemplos
1 Utiliza el método de la tabla para descomponer el número $28$.
- Paso a: Escribimos $28$ a la izquierda. Su menor divisor primo es $2$. Escribimos $2$ a la derecha y dividimos: $28 \div 2 = 14$. Escribimos $14$ abajo a la izquierda.
- Paso b: Para $14$, el menor divisor primo sigue siendo $2$. Escribimos $2$ a la derecha y dividimos: $14 \div 2 = 7$. Escribimos $7$ abajo a la izquierda.
- Paso c: Para $7$, como es primo, su único divisor primo es $7$. Escribimos $7$ a la derecha y dividimos: $7 \div 7 = 1$. Llegamos a $1$.
- Paso d: Tomamos los números de la derecha y expresamos el resultado: $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
2 Descompón el número $45$ usando el método de la tabla.
- Paso a: Colocamos $45$ a la izquierda. Como termina en cifra impar, no es divisible por $2$. Probamos con el primo $3$ (la suma de sus cifras es $4+5=9$, que es múltiplo de $3$). Escribimos $3$ a la derecha y dividimos: $45 \div 3 = 15$.
- Paso b: Colocamos $15$ abajo a la izquierda. Volvemos a dividir por $3$: $15 \div 3 = 5$. Escribimos $5$ abajo a la izquierda y $3$ a la derecha.
- Paso c: Colocamos $5$ a la izquierda. Su único divisor primo es $5$. Escribimos $5$ a la derecha y dividimos: $5 \div 5 = 1$.
- Paso d: La columna de la derecha tiene los factores $\{3, 3, 5\}$. Así, la descomposición de $45$ es $3^2 \cdot 5$.
3 En la tabla de divisiones sucesivas de un número, ¿se deben colocar números compuestos en la columna de la derecha?
- La columna de la derecha está reservada exclusivamente para los divisores que son números primos.
- Si se colocan números compuestos (como 4, 6 o 9), el resultado final no será una descomposición en factores primos.
4 Si al aplicar el método de la tabla para el número $30$ se obtiene la columna derecha con los valores $2$, $3$ y $5$, ¿es $2 \cdot 3 \cdot 5$ su descomposición prima?
- Los valores obtenidos a la derecha ($2, 3$ y $5$) son todos números primos.
- El producto de estos factores es $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
- Por lo tanto, la descomposición prima es correcta y coincide con los valores de la columna derecha.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Colocar números compuestos en la columna de la derecha (como dividir por 4 en lugar de dividir por 2 dos veces)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir el residuo en lugar del cociente en la columna de la izquierda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No empezar o no intentar dividir por los primos más pequeños primero, lo que puede causar desorden o saltarse divisores primos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el proceso termina únicamente cuando se llega al número 1 en la columna izquierda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Realizar mal las divisiones mentales, arrastrando el error durante todo el resto de la tabla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El método de la tabla consiste en dividir sucesivamente un número por factores primos organizados en dos columnas: el número a dividir a la izquierda y el divisor primo a la derecha. El proceso se detiene al llegar a $1$ en la columna izquierda.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si aplicamos el método de la tabla a un número que es primo, ¿cuántas divisiones sucesivas se realizarán?
Al ser primo, su menor (y único) divisor primo mayor que $1$ es él mismo. Al dividir el número por sí mismo, se obtiene cociente $1$, finalizando el proceso en un solo paso.
Respuesta: A) Solo una división, terminando inmediatamente en la primera línea con cociente $1$.
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En el método de la tabla de divisiones sucesivas, ¿qué tipo de números se deben colocar en la columna derecha?
La columna de la derecha contiene los divisores primos por los cuales se divide sucesivamente el número de la izquierda. Si se pusieran compuestos, el resultado no sería una descomposición prima.
Respuesta: A) Exclusivamente números primos.
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¿Cuándo se detiene el proceso de división sucesiva en el método de la tabla?
El proceso termina cuando ya no se puede dividir más, lo que ocurre cuando el cociente escrito en la columna izquierda es $1$.
Respuesta: A) Cuando el número de la columna izquierda se convierte en $1$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si al aplicar la tabla de divisiones sucesivas para el número $12$ obtenemos la columna izquierda con la secuencia $12 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, ¿cuál es la columna derecha correspondiente de factores primos?
Dividimos $12 \div 2 = 6$ (divisor $2$), luego $6 \div 2 = 3$ (divisor $2$), y finalmente $3 \div 3 = 1$ (divisor $3$). La columna derecha contiene $2, 2, 3$.
Respuesta: A) $2, 2, 3$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si colocamos un $9$ a la derecha en la tabla del número $81$ como primer paso, el procedimiento es correcto para una descomposición prima?
El número $9$ no es primo. En la columna de la derecha solo deben ir divisores primos. Se debió dividir por $3$ sucesivamente ($3, 3, 3, 3$).
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que al completar la tabla del número $100$, el producto de la columna de la derecha es igual a $100$?
La columna derecha contiene los factores primos de la descomposición de $100$ ($2, 2, 5, 5$). Multiplicarlos da como resultado el número original: $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 100$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que en el método de la tabla para el número $50$, los divisores a la derecha en orden son $2$, $5$ y $5$?
$50 \div 2 = 25$, luego $25 \div 5 = 5$, y $5 \div 5 = 1$. Los divisores a la derecha son $2$, $5$ y $5$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si se aplica el método de la tabla para descomponer un número $N$, y se sabe que el producto de los números en la columna derecha es $2^3 \cdot 5^2$, ¿cuál de los siguientes enunciados representa de forma correcta al número $N$?
El producto de la derecha da el valor de $N = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$. El número $200$ tiene tres cifras, es divisible por $8$ ($200 \div 8 = 25$) y por $25$ ($200 \div 25 = 8$).
Respuesta: A) $N$ es un número de tres cifras divisible por $8$ y por $25$.
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Para resolver un problema de reparto equitativo, un profesor muestra la siguiente tabla de divisiones sucesivas incompleta:
$$\begin{array}{r|l} X & 2 \ 45 & 3 \ 15 & Y \ 5 & 5 \ 1 & \end{array}$$
¿Cuáles son los valores de $X$ e $Y$, respectivamente?Dado que $X \div 2 = 45$, entonces $X = 45 \cdot 2 = 90$. Luego, en la tercera fila, $15 \div Y = 5$, lo que implica $Y = 3$. Por lo tanto, $X = 90$ e $Y = 3$.
Respuesta: A) $X = 90$ e $Y = 3$
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Un estudiante intentó descomponer el número $84$ usando una tabla de divisiones sucesivas, pero cometió una alteración en el orden usual de los divisores:
$$\begin{array}{r|l} 84 & 2 \ 42 & 2 \ 21 & 7 \ 3 & 3 \ 1 & \end{array}$$
¿Cuál de las siguientes afirmaciones respecto a su procedimiento es correcta?Aunque es habitual ir en orden de menor a mayor, dividir por $7$ en $21 \div 7 = 3$ es matemáticamente correcto. Todos los factores a la derecha son primos, la divisiones son exactas y su producto es $84$. Por la unicidad de la descomposición, el resultado es correcto.
Respuesta: A) El procedimiento es correcto y el orden de los divisores primos no altera la validez de la descomposición final ($2^2 \cdot 3 \cdot 7$).