Factorización prima mediante tabla
Resumen inicial
El método de la tabla realiza divisiones sucesivas entre primos hasta reducir el número a la unidad.
Explicación en palabras simples
El método de la tabla es un procedimiento organizado en columnas para descomponer un número en primos. Escribimos el número a la izquierda, dividimos por el menor primo posible a la derecha, anotamos el cociente abajo y repetimos el proceso hasta llegar a 1.
Explicación formal
El Algoritmo de Divisiones Sucesivas en Tabla genera la secuencia de cocientes $n_0, n_1, \dots, n_k$ y divisores primos $p_1, p_2, \dots, p_k$ tal que:
$$n_0 = n, \quad n_i = \frac{n_{i-1}}{p_i} \quad \text{con } p_i = \min \{ p \in \text{Primos} \mid p \mid n_{i-1} \}$$
Desglose de la fórmula:
- Condición de parada: $n_k = 1$.
- Reconstrucción de la descomposición: $n = \prod_{i=1}^k p_i$.
Complemento didáctico: La columna de la derecha contiene la lista completa de factores primos que al multiplicarse forman el número original.
La alternativa correcta es 'Cuando el cociente de la izquierda llega a 1'.
Definiciones clave
- Método de la tabla (divisiones sucesivas): Algoritmo vertical de división por primos menores hasta llegar al cociente 1.
Propiedades y relaciones importantes
- Estructura algorítmica: Garantiza no saltarse ningún factor primo al probar siempre desde el menor primo $2, 3, 5, \dots$
Ejemplo guiado
Descomponga el número $36$ en factores primos utilizando el método de la tabla.
- Paso 1: $36$ es divisible por 2: $36 : 2 = 18$ (anotar 2 a la derecha, 18 abajo).
- Paso 2: $18$ es divisible por 2: $18 : 2 = 9$ (anotar 2 a la derecha, 9 abajo).
- Paso 3: $9$ es divisible por 3: $9 : 3 = 3$ (anotar 3 a la derecha, 3 abajo).
- Paso 4: $3$ es divisible por 3: $3 : 3 = 1$ (anotar 3 a la derecha, 1 abajo). Proceso finalizado.
- Conclusión: La multiplicación de la columna derecha da $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.
La alternativa correcta es '2^2 · 3^2'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir el número en la columna izquierda de la tabla.
- Paso 2: Dividir por el menor primo que lo divida exactamente y anotar el primo a la derecha y el cociente abajo.
- Paso 3: Repetir el proceso con los cocientes sucesivos hasta llegar al cociente final 1.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Dividir por números compuestos en la columna derecha (ej: poner un 4 o un 9). Cómo corregirlo: La columna derecha debe contener ÚNICAMENTE números primos.
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Error 2: Detener la tabla antes de llegar al cociente 1. Cómo corregirlo: La tabla finaliza obligatoriamente cuando el cociente izquierdo llega a 1.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $40 : 2 = 20$, $20 : 2 = 10$, $10 : 2 = 5$, $5 : 5 = 1$. Resultado: $2^3 \cdot 5$.
- La descomposición exige usar exclusivamente factores primos.
- Sí, el 1 indica la detención del algoritmo.
- No, el 6 es un número compuesto.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Factorizar números naturales de cualquier magnitud mediante el método de divisiones sucesivas (tabla vertical).
Dividiendo sucesivamente por el menor factor primo disponible $2 \to 3 \to 5 \to \dots$ hasta obtener cociente 1, y agrupando los factores en potencias.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si aplicamos el método de la tabla a un número que es primo, ¿cuántas divisiones sucesivas se realizarán?
Al ser primo, su menor (y único) divisor primo mayor que $1$ es él mismo. Al dividir el número por sí mismo, se obtiene cociente $1$, finalizando el proceso en un solo paso.
Respuesta: A) Solo una división, terminando inmediatamente en la primera línea con cociente $1$.
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En el método de la tabla de divisiones sucesivas, ¿qué tipo de números se deben colocar en la columna derecha?
La columna de la derecha contiene los divisores primos por los cuales se divide sucesivamente el número de la izquierda. Si se pusieran compuestos, el resultado no sería una descomposición prima.
Respuesta: A) Exclusivamente números primos.
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¿Cuándo se detiene el proceso de división sucesiva en el método de la tabla?
El proceso termina cuando ya no se puede dividir más, lo que ocurre cuando el cociente escrito en la columna izquierda es $1$.
Respuesta: A) Cuando el número de la columna izquierda se convierte en $1$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si al aplicar la tabla de divisiones sucesivas para el número $12$ obtenemos la columna izquierda con la secuencia $12 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, ¿cuál es la columna derecha correspondiente de factores primos?
Dividimos $12 \div 2 = 6$ (divisor $2$), luego $6 \div 2 = 3$ (divisor $2$), y finalmente $3 \div 3 = 1$ (divisor $3$). La columna derecha contiene $2, 2, 3$.
Respuesta: A) $2, 2, 3$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si colocamos un $9$ a la derecha en la tabla del número $81$ como primer paso, el procedimiento es correcto para una descomposición prima?
El número $9$ no es primo. En la columna de la derecha solo deben ir divisores primos. Se debió dividir por $3$ sucesivamente ($3, 3, 3, 3$).
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que al completar la tabla del número $100$, el producto de la columna de la derecha es igual a $100$?
La columna derecha contiene los factores primos de la descomposición de $100$ ($2, 2, 5, 5$). Multiplicarlos da como resultado el número original: $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 100$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que en el método de la tabla para el número $50$, los divisores a la derecha en orden son $2$, $5$ y $5$?
$50 \div 2 = 25$, luego $25 \div 5 = 5$, y $5 \div 5 = 1$. Los divisores a la derecha son $2$, $5$ y $5$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si se aplica el método de la tabla para descomponer un número $N$, y se sabe que el producto de los números en la columna derecha es $2^3 \cdot 5^2$, ¿cuál de los siguientes enunciados representa de forma correcta al número $N$?
El producto de la derecha da el valor de $N = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$. El número $200$ tiene tres cifras, es divisible por $8$ ($200 \div 8 = 25$) y por $25$ ($200 \div 25 = 8$).
Respuesta: A) $N$ es un número de tres cifras divisible por $8$ y por $25$.
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Para resolver un problema de reparto equitativo, un profesor muestra la siguiente tabla de divisiones sucesivas incompleta:
$$\begin{array}{r|l} X & 2 \ 45 & 3 \ 15 & Y \ 5 & 5 \ 1 & \end{array}$$
¿Cuáles son los valores de $X$ e $Y$, respectivamente?Dado que $X \div 2 = 45$, entonces $X = 45 \cdot 2 = 90$. Luego, en la tercera fila, $15 \div Y = 5$, lo que implica $Y = 3$. Por lo tanto, $X = 90$ e $Y = 3$.
Respuesta: A) $X = 90$ e $Y = 3$
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Un estudiante intentó descomponer el número $84$ usando una tabla de divisiones sucesivas, pero cometió una alteración en el orden usual de los divisores:
$$\begin{array}{r|l} 84 & 2 \ 42 & 2 \ 21 & 7 \ 3 & 3 \ 1 & \end{array}$$
¿Cuál de las siguientes afirmaciones respecto a su procedimiento es correcta?Aunque es habitual ir en orden de menor a mayor, dividir por $7$ en $21 \div 7 = 3$ es matemáticamente correcto. Todos los factores a la derecha son primos, la divisiones son exactas y su producto es $84$. Por la unicidad de la descomposición, el resultado es correcto.
Respuesta: A) El procedimiento es correcto y el orden de los divisores primos no altera la validez de la descomposición final ($2^2 \cdot 3 \cdot 7$).