Factorización prima mediante árbol de factores
Aplicar el método del árbol de factores para descomponer un número compuesto en un producto de números primos.
Introducción
¿Te gustan los árboles genealógicos o los mapas mentales con ramas? En matemáticas tenemos el método del árbol de factores, que funciona igual.
Empiezas con el número que quieres desarmar en el tronco superior y dibujas dos 'ramas' que representan a dos números que al multiplicarse dan el original. Si alguna de las ramas llega a un número que no es primo, ¡le dibujas más ramas! Pero si la rama llega a un número primo, esa rama da un fruto (un primo) y se detiene ahí.
Es un método muy visual e intuitivo que te permite ver claramente cómo un número se va ramificando hasta que solo quedan sus factores primos en los extremos de las ramas.
Explicación
El Método del Árbol de Factores es una técnica gráfica para encontrar la descomposición prima de un número. Su ventaja radica en que es muy visual y no requiere seguir un orden estricto de divisores primos.
Cómo construir el árbol:
1. Escribe el número original en la parte superior.
2. Dibuja dos ramas hacia abajo que apunten a dos números enteros cuyo producto sea el número original (ninguno de los dos puede ser 1).
3. Para cada uno de estos nuevos números:
- Si es un número primo, lo encerramos en un círculo (representa una hoja o fruto terminal; la rama termina aquí).
- Si es un número compuesto, dibujamos dos nuevas ramas y lo descomponemos en otro par de factores.
4. Repetimos el proceso hasta que todos los extremos de las ramas contengan números primos encerrados en círculos.
Ejemplo para el número $36$:
Podemos partir el $36$ de varias maneras. Veamos una:
- Dividimos $36$ en $6 \cdot 6$.
- Ahora descomponemos el primer $6$ en $2 \cdot 3$. Como $2$ y $3$ son primos, los encerramos en un círculo.
- Descomponemos el segundo $6$ en $2 \cdot 3$. Como $2$ y $3$ son primos, los encerramos en un círculo.
Gráficamente:
36
/ \
6 6
/ \ / \
(2)(3)(2)(3)
Los extremos del árbol son: $2, 3, 2, 3$.
Multiplicando todos los extremos obtenemos la descomposición:
$$36 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$$
Nota que si hubiéramos partido con $4 \cdot 9$, el árbol habría sido diferente en su forma intermedia, pero al final los extremos habrían sido los mismos: $2, 2$ de las ramas de $4$, y $3, 3$ de las ramas de $9$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe el número compuesto en la parte superior de tu hoja.
- Paso 2: Dibuja dos ramas hacia abajo y escribe dos factores enteros cuyo producto sea igual al número del cual nacen las ramas (ambos factores mayores que 1).
- Paso 3: Identifica si los factores obtenidos son primos. Si alguno es primo, enciérralo en un círculo y detén el ramificado por ese lado. Si es compuesto, vuelve al Paso 2 con ese número.
- Paso 4: Continúa ramificando hasta que todos los extremos del árbol sean números primos.
- Paso 5: Escribe la descomposición multiplicando todos los números que quedaron encerrados en círculos en los extremos.
Ejemplos
1 Usa el método del árbol para descomponer el número $24$, comenzando por los factores $4$ y $6$.
- Paso a: Escribimos el $24$ arriba y sacamos dos ramas: una hacia el $4$ y otra hacia el $6$.
- Paso b: Descomponemos el $4$ en dos ramas: $2$ y $2$. Como el $2$ es primo, encerramos ambos en un círculo y terminamos por ese lado.
- Paso c: Descomponemos el $6$ en dos ramas: $2$ y $3$. Como ambos son primos, los encerramos en un círculo y terminamos.
- Paso d: Juntamos todos los extremos rodeados con un círculo: $2, 2, 2$ y $3$. Así, la descomposición prima es $24 = 2^3 \cdot 3$.
2 Descompón el número $30$ con el método del árbol empezando con los factores $3$ y $10$.
- Paso a: Colocamos el $30$ arriba y abrimos dos ramas: una hacia el $3$ y otra hacia el $10$.
- Paso b: El factor $3$ es un número primo, así que lo encerramos en un círculo. Esta rama se detiene.
- Paso c: El factor $10$ es compuesto, así que abrimos dos ramas desde él: $2$ y $5$. Como $2$ y $5$ son primos, los encerramos en círculos.
- Paso d: Los extremos con círculos son $3, 2, 5$. La descomposición prima es $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
3 ¿Se puede empezar un árbol de factores para el número $14$ usando las ramas $1$ y $14$?
- En el método del árbol de factores, no se permite usar el número $1$ como factor.
- Si usáramos $1$ y $14$, la rama del $14$ nos obligaría a repetir $1$ y $14$ indefinidamente, creando un ciclo infinito que no descompone el número.
- La forma correcta de empezar para $14$ es con las ramas $2$ y $7$, que son primos.
4 Si dos estudiantes hacen árboles de factores para el número $40$, uno empezando con $4 \cdot 10$ y otro con $5 \cdot 8$, ¿llegarán al mismo resultado final?
- El Teorema Fundamental de la Aritmética garantiza que la descomposición prima es única.
- Aunque las ramas intermedias del árbol sean diferentes, los extremos finales (los primos de las hojas) siempre serán exactamente los mismos: tres $2$ y un $5$ ($2^3 \cdot 5$).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar el número 1 como una de las ramas, lo que genera un bucle infinito que no divide el número."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar seguir ramificando algún número compuesto intermedio, dejándolo como si fuera un extremo primo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir dos números cuyas ramas sumen el número superior en lugar de que lo multipliquen (por ejemplo, ramificar 10 en 5 y 5)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No encerar en un círculo los números primos finales, lo que lleva a confundir los números compuestos intermedios con los factores primos finales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar incorrectamente los factores de las ramas durante el proceso de ramificación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El método del árbol consiste en descomponer un número en dos factores (ramas), repitiendo el proceso con los números compuestos resultantes hasta que todos los extremos de las ramas sean números primos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al desarmar un número compuesto en un árbol de factores, ¿cuál es la relación que debe cumplirse entre el número superior y las dos ramas que nacen de él?
Cada bifurcación representa una factorización del número superior, por lo que la multiplicación de los dos factores de las ramas debe dar exactamente el número del cual provienen.
Respuesta: A) El producto de los dos números de las ramas debe ser igual al número superior.
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¿Por qué no se debe utilizar el factor $1$ para crear las ramas de un árbol de factores?
Si usamos el factor $1$ para ramificar un número como $12$ ($1 \cdot 12$), el $12$ seguiría requiriendo ramificarse, pudiendo repetir $1 \cdot 12$ de forma infinita sin descomponer el número en primos reales.
Respuesta: A) Porque crearía un ciclo infinito (el número se repetiría indefinidamente sin reducirse).
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En el método del árbol de factores, ¿qué indica que una rama ha llegado a su fin y no debe dividirse más?
Las ramas se detienen cuando llegamos a un número primo, ya que un número primo no se puede descomponer más en factores enteros mayores que $1$.
Respuesta: A) Que el número en el extremo de la rama es un número primo.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Considera un árbol de factores para el número $18$ que comienza dividiéndose en las ramas $2$ y $9$. ¿Cuáles son los números finales que quedarán encerrados en círculos en los extremos de todas las ramas?
El $2$ es primo, se detiene. El $9$ se ramifica en $3 \cdot 3$ (ambos primos). Así, los extremos terminales son $2$, $3$ y $3$.
Respuesta: A) $2, 3, 3$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si ramificamos el número $15$ en $3$ y $5$, ambas ramas se detienen inmediatamente por ser números primos?
Tanto el $3$ como el $5$ son números primos. Por lo tanto, el árbol termina en el primer nivel de ramificación.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que en el árbol de factores de $16$ que inicia con las ramas $4$ y $4$, el resultado final de los extremos primos es $2, 2, 2, 2$?
Cada $4$ se ramifica en $2$ y $2$. Como $2$ es primo, las hojas terminales del árbol serán cuatro $2$, lo que equivale a la descomposición $2^4 = 16$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si ramificamos un número compuesto $N$ en dos ramas $A$ y $B$, podemos elegir $A$ y $B$ tales que su suma sea igual a $N$?
En el árbol de factores, las ramas representan factores multiplicativos (es decir, $A \cdot B = N$), no sumandos.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un estudiante dibuja el siguiente árbol de factores para descomponer el número $72$, pero deja una casilla vacía marcada con una $Z$:
$$\text{Árbol: } 72 \rightarrow 8 \text{ y } 9 \ 8 \rightarrow 2 \text{ y } X \ X \rightarrow 2 \text{ y } 2 \ 9 \rightarrow 3 \text{ y } Z$$
¿Cuáles son los valores de las incógnitas $X$ y $Z$, respectivamente?Como $8$ se ramifica en $2$ y $X$, entonces $2 \cdot X = 8 \Rightarrow X = 4$. Luego, $9$ se ramifica en $3$ y $Z$, de donde $3 \cdot Z = 9 \Rightarrow Z = 3$.
Respuesta: A) $X=4$ y $Z=3$
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Sea $P$ un número entero que se descompone en un árbol de factores. En el primer nivel, $P$ se ramifica en dos números impares mayores que $1$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta con respecto a la descomposición prima de $P$?
Si $P = A \cdot B$, donde $A$ y $B$ son impares, entonces $P$ es impar (el producto de dos impares es impar). Ningún número impar contiene al factor primo par $2$ en su descomposición.
Respuesta: A) El factor primo $2$ no puede formar parte de la descomposición prima de $P$.
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Al descomponer el número $100$ mediante el método del árbol de factores, dos estudiantes toman caminos diferentes:
- Camila divide $100$ en $10 \text{ y } 10$.
- Diego divide $100$ en $4 \text{ y } 25$.
Si ambos terminan sus árboles correctamente, ¿cuál de las siguientes afirmaciones respecto a las hojas terminales del árbol es verdadera?Por la unicidad de la descomposición en factores primos (Teorema Fundamental de la Aritmética), cualquier camino correcto en un árbol de factores para $100$ debe terminar con los factores primos $2, 2, 5, 5$, lo que equivale a $2^2 \cdot 5^2$.
Respuesta: A) Ambos obtienen exactamente las mismas hojas terminales: dos factores $2$ y dos factores $5$.